Lời giải:

Đề bài cần bổ sung OA cắt (O) tại E sao cho E nằm giữa O và A.

Do $AB$ là tiếp tuyến $(O)$ nên $AB\perp OB$ hay tam giác $ABO$ vuông tại $B$. Mà $AB=2BO$ (do $AB=2R; BO=R$). Do đó $\widehat{BOA}=60^0$

Tam giác $BOE$ có $BO=EO=R$ nên là tam giác cân. Mà $\widehat{BOE}=\widehat{BOA}=60^0$ nên $BOE$ là tam giác đều.

$\Rightarrow BO=BE(1)$$OB=OC$ và $OA\perp BC$ nên $OA$ là đường trung trực của $BC$

$E\in OA$ nên $EB=EC(2)$

$OB=OC=R(3)$

Từ $(1);(2);(3)\Rightarrow OC=BO=BE=EC$. Suy ra OBEC là hình thoi.

Hình vẽ:

a: ΔOCD cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của CD

Xét tứ giác ACKD có

H là trung điểm chung của AK và CD

=>ACKD là hình bình hành

Hình bình hành ACKD có AK⊥CD
nên ACKD là hình thoi

b: Xét (I) có

ΔKEB nội tiếp

KB là đường kính

Do đó: ΔKEB vuông tại E

=>KE⊥CB

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>CA⊥CB

mà CA//KD(ACKD là hình thoi)

nên KD⊥CB

mà KE⊥CB

và KE,KD có điểm chung là K

nên E,K,D thẳng hàng

c: Xét tứ giác CHKE có \(\hat{CHK}+\hat{CEK}=90^0+90^0=180^0\)

nên CHKE là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{HEK}=\hat{HCK}\)

\(\hat{IEH}=\hat{IEK}+\hat{HEK}\)

\(=\hat{IKE}+\hat{HCK}=\hat{HKD}+\hat{KDH}=90^0\)

=>IE⊥ EH tại E

=>HE là tiếp tuyến tại E của (I)

Bài 1: 

a: Xét (O) có

MA là tiếp tuyến

MB là tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

hay ΔMAB cân tại M

mà \(\widehat{AMB}=60^0\)

nên ΔMBA đều

b: Xét ΔAOM vuông tại A có 

\(AM=OA\cdot\tan30^0\)

nên \(AM=5\sqrt{3}\left(cm\right)\)

\(C_{AMB}=3\cdot AM=15\sqrt{3}\left(cm\right)\)

c: Ta có: MA=MB

nên M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

nên O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của AB

hay MO⊥AB(1)

Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

AC là đường kính

DO đó: ΔABC vuông tại B

Suy ra: AB⊥BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OM//BC

hay BMOC là hình thang

c

Gọi H là giao điểm của AB và OM

a, Xét Δv MAO và ΔvMBO

Có MO chung

AO=OB(=bk)

=> ΔvMAO= ΔMBO (ch-cgv)

=> MA=MB

Trong ΔAMB

Có MA=MB(cmt)

=> ΔAMB cân tại M

lại có góc AMB=60 độ

=> ΔAMB là Δ đều

b, Ta có: góc AMO=góc BMO ( ΔvMAO= ΔvMBO)

mà góc AMO+ góc BMO= góc AMB=60 độ

=> góc AMO=\(\frac{1}{2}.60=30^0\)

Áp dụng tỉ số lượng giác

Ta có : tan góc AMO=\(\frac{AO}{AM}\)

tan30=\(\frac{5}{AM}\)

=>AM=\(\frac{5}{tan30}=5\sqrt{3}\)

Chu vi ΔAMB= AM.3=\(5\sqrt{3}.3=15\sqrt{3}\)

c, Ta có OA=OB (=bk)

=> O thuộc đường trung trực AB(1)

MA=MB(cmt)

=> M thuộc đường trung trực AB (2)

Từ (1)(2)=> OM là cả đường trung trực

=> MO vuông góc AB (*)

Ta có: OA=OB=OC(=bk)

=> OB=\(\frac{1}{2}AC\)

mà OB là đường trung tuyến

=> Δ ABC vuông tại B

=> AB vuông góc BC(**)

Từ (*)(**)=> MO//BC

=> BMOC là hình thang

Bài 2:

a,

Ta có : góc AQM=90 độ ( MQ vuông góc xy)

góc APM =90 độ ( MP vuông góc AB)

góc QAP=90độ ( xy vuông góc OA)

=> QMPA là hình chữ nhật

b, Trong hình chữ nhật QMPA:

Có : I là trung điểm của đường chéo thứ nhất QP

-> I cũng là trung điểm của đường chéo thứ 2 AM

=> IA=IM

=> OI vuông góc AM tại I ( đường kính đi qua trung điểm => vuông góc ( đ/Lý 3)

a CD <AB,b IE=OE-OI=OF-OI<OF-OH=HF

a) CD<AB,b)IE=OE-OI=OF-OI<OF-OH=HF

a: ΔOAH vuông tại A

=>\(AO^2+AH^2=OH^2\)

=>\(AH^2=6^2-3^2=27\)

=>\(AH=\sqrt{27}=3\sqrt3\) (cm)

b: ΔOAB cân tại O

mà OH là đường cao

nên OH là phân giác của góc AOB

Xét ΔOAH và ΔOBH có

OA=OB

\(\hat{AOH}=\hat{BOH}\)

OH chung

Do đó: ΔOAH=ΔOBH

=>\(\hat{OAH}=\hat{OBH}\)

=>\(\hat{OBH}=90^0\)

=>HB là tiếp tuyến tại B của (O)

c: Xét ΔOAH vuông tại A có sin OHA=\(\frac{OA}{OH}=\frac12\)

nên \(\hat{OHA}=30^0\)

ΔHAB cân tại H

mà HO là đường cao

nên HO là phân giác của góc AHB

=>\(\hat{AHB}=2\cdot\hat{AHO}=60^0\)

d: Xét (O) có

ΔABM nội tiếp

AM là đường kính

Do đó: ΔABM vuông tại B

=>BA⊥BM

mà OH⊥AB

nên OH//BM

Kẻ OH ⊥ AB, OK ⊥ CD

Ta có: AB = CD (gt)

Suy ra : OH = OK (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Vậy OI là tia phân giác của góc BID (tính chất đường phân giác)