a: y=m(2x-1)+3-2x

=>y=2mx-m+3-2x

=>y=x(2m-2)-m+3

=>x(2m-2)-y-m+3=0

Khoảng cách từ O đến (d) là:

\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\frac{\left|0\cdot\left(2m-2\right)+0\cdot\left(-1\right)-m+3\right|}{\sqrt{\left(2m-2\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{\left|m-3\right|}{\sqrt{4m^2-8m+5}}\)

d(O;(d))=1

=>\(\left|m-3\right|=\sqrt{4m^2-8m+5}\)

=>\(4m^2-8m+5=m^2-6m+9\)

=>\(3m^2-2m-4=0\)

=>\(m^2-\frac23m-\frac43=0\)

=>\(m^2-2\cdot m\cdot\frac13+\frac19-\frac{13}{9}=0\)

=>\(\left(m-\frac13\right)^2=\frac{13}{9}\)

=>\(\left[\begin{array}{l}m-\frac13=\frac{\sqrt{13}}{3}\\ m-\frac13=-\frac{\sqrt{13}}{3}\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}m=\frac{\sqrt{13}+1}{3}\\ m=\frac{-\sqrt{13}+1}{3}\end{array}\right.\)

b: Để d(O;(d)) lớn nhất thì \(4m^2-8m+5\) nhỏ nhất

=>\(4m^2-8m+4+1\) nhỏ nhất

=>\(\left(2m-2\right)^2+1\) nhỏ nhất

mà \(\left(2m-2\right)^2+1\ge1\forall m\)

nên dấu '=' xảy ra khi 2m-2=0

=>2m=2

=>m=1

Ta có :

    y = m\(x\) + 2

⇒ y - m\(x\) - 2 = 0

⇒ -m\(x\) + y  - 2 = 0

⇒d(O;d) = \(\dfrac{\left|0-0-2\right|}{\sqrt{m^2+1}}\) = 1

 ⇒  \(\sqrt{1+m^2}\) =  2

⇒ 1 + m² = 4 ⇒ m² = 3 ⇒ m = -\(\sqrt{3}\); m = \(\sqrt{3}\)

b, d(O;d)  = \(\dfrac{2}{\sqrt{m^2+1}}\)  

         2 > 0; 1 + m² > 0 Vậy \(\dfrac{2}{\sqrt{m^2+1}}\) lớn nhất ⇔ 1 + m² nhỏ nhất.

    m² ≥ 0 ⇒ 1 + m² ≥ 1 vậy m² + 1  đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi m = 0

                 ⇒d(max) = 2 ⇒ m= 0

                Vậy m = 0 thì khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là lớn nhất và khoảng cách đó là 2

Kết luận a, Với m = -\(\sqrt{3}\); \(\sqrt{3}\) thì khoảng cách từ gốc tọa độ tới d bằng 1

              b,  Với m = 0 thì khoảng cách từ gốc tọa độ tới d bằng 2 là khoảng cách lớn nhất .

a: y=mx+2

=>mx-y+2=0

d(O;(d))=1

=>\(\dfrac{\left|0\cdot m+0\cdot\left(-1\right)+2\right|}{\sqrt{m^2+1}}=1\)

=>căn m^2+1=2

=>m^2+1=4

=>m^2=3

=>\(m=\pm\sqrt{3}\)

b: Để d(O;(d)) lớn nhất thì m=0