\(A;D \in (O)=>OA=OD=>\triangle OAD\) cân tại \(O=>\widehat{A}=\widehat{ADO}\)

Xét `(O)` có: \(\widehat{A}=\widehat{CDB}\)     `(1)`

Xét \(\triangle DOC\) vuông tại `D` có: \(\widehat{BCD}+\hat{DOB}=90^{o}\)    `(2)`

Xét \(\triangle ADO\) có: \(\widehat{DOB}=\widehat{A}+\hat{ADO}=2\widehat{A}\) `(3)`

Từ \((1);(2);(3)=>\wide{BCD}+2\widehat{CDB}=90^{o}\)

Xét (O) có

CA,CM là tiếp tuyến

Do đó: OC là phân giác của \(\widehat{MOA}\)

=>\(\widehat{MOA}=2\cdot\widehat{MOC}\)

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

Do đó: OD là phân giác của góc MOB

=>\(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)

\(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\left(\widehat{MOD}+\widehat{MOC}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{DOC}=180^0\)

=>\(\widehat{DOC}=90^0\)

=>ΔDOC vuông tại O

Gọi N là trung điểm của CD

ΔOCD vuông tại O

=>ΔOCD nội tiếp đường tròn đường kính CD

mà N là trung điểm của CD

nên ΔOCD nội tiếp (N)

Xét hình thang ACDB có

O,N lần lượt là trung điểm của AB,CD

=>ON là đường trung bình của hình thang ACDB

=>ON//AC//BD

=>ON\(\perp\)AB tại O

Xét (N) có

NO là bán kính

AB\(\perp\)NO tại O

Do đó:AB là tiếp tuyến của (N)

=>Đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB

góc ABO+góc ACO=180 độ

=>ABOC nội tiếp

góc A chung

góc NBD=góc AEB

=>ΔABD đồng dạg vơi ΔAEB

=>AB/AE=AD/AB=BD/EB

Chứng minh tương tự, ta được: ΔACD đồng dạng với ΔAEC

=>AC/AE=CD/CE

mà AB=AC

nên AD/AB=AD/AC

=>BD/BE=CD/CE

=>BD*CE=BE*CD

góc M chung

góc MCN=góc MBC

=>ΔMCN đồng dạng với ΔMBC

=>MC/MB=MN/MC

=>MB*MN=MC^2=MA^2

=>MA/MB=MN/MA

=>ΔMAN đồng dạng với ΔMBA

=>góc MAN=góc MBA

=>BC là tiếp tuyến của (K)

=>BC vuông góc CK

a: ΔOCD cân tại O

mà OE là đường cao

nên E là trung điểm của CD

Xét tứ giác ACMD có

E là trung điểm chung của AM và CD

=>ACMD là hình bình hành

Hình bình hành ACMD có AM\(\perp\)CD

nên ACMD là hình thoi

b: ΔOCD cân tại O

mà OE là đường cao

nên OE là phân giác của góc COD

XétΔICO và ΔIDO có

OC=OD

\(\widehat{COI}=\widehat{DOI}\)

OI chung

Do đó; ΔICO=ΔIDO

=>\(\widehat{ICO}=\widehat{IDO}=90^0\)

=>ID là tiếp tuyến của (O)

Sửa đề: góc ADM=1/2*góc COB

Xét (O) có

MA,MB là tiếp tuyến

nên OM là phân giác của góc AOB

=>gócAOM=góc BOM

=>góc AOC=góc BOC

=>sđ cung AC=sđ cung BC

mà góc ADM=1/2*sđ cung AC

nên góc ADM=1/2*góc COB

1: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB và MO là phân giác của góc AMB

Ta có: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB (2)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(1)

Từ (1),(2) suy ra OM là đường trung trực của AB

=>OM⊥AB tại H và H là trung điểm của AB

Xét (O) có

\(\hat{MAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AC

\(\hat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{MAC}=\hat{ADC}\)

Xét ΔMAC và ΔMDA có

\(\hat{MAC}=\hat{MDA}\)

góc AMC chung

Do đó: ΔMAC~ΔMDA

=>\(\frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MA}\)
=>\(MA^2=MD\cdot MC\left(3\right)\)

Xét ΔMAO vuông tại A có AH là đường cao

nên \(MH\cdot MO=MA^2\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(MD\cdot MC=MH\cdot MO\)

=>\(\frac{MD}{MO}=\frac{MH}{MC}\)

=>\(\frac{MD}{MH}=\frac{MO}{MC}\)

Xét ΔMDO và ΔMHC có

\(\frac{MD}{MH}=\frac{MO}{MC}\)

góc DMO chung

Do đó: ΔMDO~ΔMHC

=>\(\hat{MDO}=\hat{MHC}\)

mà \(\hat{MHC}+\hat{OHC}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{OHC}+\hat{ODC}=180^0\)

=>OHCD là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{DHO}=\hat{DCO}\)

mà \(\hat{DCO}=\hat{ODC}\) (ΔOCD cân tại O)

và \(\hat{ODC}=\hat{MHC}\)

nên \(\hat{MHC}=\hat{OHD}\)

=>\(90^0-\hat{MHC}=90^0-\hat{OHD}\)

=>\(\hat{CHA}=\hat{DHA}\)

=>HA là phân giác của góc DHC

mà HA⊥HM

nên HM là phân giác ngoài tại đỉnh H của ΔDHC

Xét ΔDHC có HM là phân giác ngoài tại đỉnh H

nên \(\frac{MC}{MD}=\frac{HC}{HD}\)

2: Ta có: \(\hat{HAP}+\hat{OPA}=90^0\) (ΔAHP vuông tại H)

\(\hat{MAP}+\hat{OAP}=\hat{OAM}=90^0\)

mà \(\hat{OAP}=\hat{OPA}\) (ΔOAP cân tại O)

nên \(\hat{HAP}=\hat{MAP}\)

=>AP là phân giác của góc HAM

Xét ΔBAM có

AP,MH là các đường phân giác

AP cắt MH tại P

Do đó: P là tâm đường tròn nội tiếp ΔMAB

a: ΔOAB cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của AB và OH là phân giác của góc AOB

Xét ΔOAM và ΔOBM co

OA=OB

góc AOM=góc BOM

OM chung

Do đó: ΔOAM=ΔOBM

=>góc OBM=90 độ

=>MB là tiếp tuyến của (O)

b: Xet ΔMAD và ΔMCA có

góc MAD=góc MCA

góc AMD chung

Do đó: ΔMAD đồng dạng với ΔMCA

=>MA/MC=MD/MA

=>MA^2=MC*MD=MH*MO