a) Ta có: \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {H{M_0}}  = \left( {{x_0} - {x_H};{y_0} - {y_H}} \right)\)

Mà H là hình chiếu vuông góc của \({M_0}\) trên \(\Delta \) nên \(H{M_0} \bot \Delta \)

Mặt khác vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) cùng vuông góc với \(\Delta \)

Suy ra \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {H{M_0}} \)cùng phương (đpcm)

b) Ta có: \(\overrightarrow n  = (a;b)\) và \(\overrightarrow {H{M_0}}  = \left( {{x_0} - {x_H};{y_0} - {y_H}} \right)\)

Suy ra \(p = \overrightarrow n .\overrightarrow {H{M_0}}  = a\left( {{x_0} - {x_H}} \right) + b\left( {{y_0} - {y_H}} \right) = a{x_0} + b{y_0} - \left( {a{x_H} + b{y_H}} \right)\)                (1)

Mà H  thuộc đường thẳng \(\Delta \) nên tọa độ điểm H thỏa mãn phương trình đường thẳng \(\Delta \)

Thay tọa độ điểm H vào phương trình \(\Delta :ax + by + c = 0\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\) ta có:

\(a{x_H} + b{y_H} + c = 0 \Leftrightarrow c =  - \left( {a{x_H} + b{y_H}} \right)\)

Thay \(c =  - \left( {a{x_H} + b{y_H}} \right)\) vào (1) ta có

\(p = a{x_0} + b{y_0} + c\)       (đpcm)

c) Ta có: \(p = \overrightarrow n .\overrightarrow {H{M_0}}  \Leftrightarrow \overrightarrow {H{M_0}}  = \frac{p}{{\overrightarrow n }} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \left| {\frac{p}{{\overrightarrow n }}} \right| \Rightarrow \left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \frac{{\left| p \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}}\)

\({\overrightarrow {MM} _0} = \left( {{x_0} - x;{y_0} - y} \right)\) mà \(\Delta \) nhận \({\overrightarrow {MM} _0}\)làm vectơ chỉ phương nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} - x = {u_1}\\{y_0} - y = {u_2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} - {u_1}\\y = {y_0} - {u_2}\end{array} \right.\)

Vậy \(M\left( {{x_0} - {u_1};{y_0} - {u_2}} \right)\)

a) Ta có \(\overrightarrow n .\overrightarrow u  = a.b + b.( - a) = 0\)

Tích vô hướng bằng 0 nên hai vectơ \(\overrightarrow n ,\overrightarrow u \)có phương vuông góc với nhau

b) Vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \) có giá là đường thẳng \(\Delta\)

=> luôn cùng phương với vectơ \(\overrightarrow u \)

=> vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \) có phương vuông góc với vectơ \(\overrightarrow n \)

\(\Delta \) nhận vectơ \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) làm vectơ pháp tuyến, suy ra vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow u  = (b; - a)\)

M và \({M_0}\) thuộc đường thẳng \(\Delta \) nên \(\Delta \) nhận \({\overrightarrow {MM} _0}\)làm vectơ chỉ phương

\({\overrightarrow {MM} _0} = \left( {{x_0} - x;{y_0} - y} \right)\), suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} - x = b\\{y_0} - y =  - a\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} - b\\y = {y_0} + a\end{array} \right.\)

Suy ra \(M\left( {{x_0} - {u_1};{y_0} - {u_2}} \right)\)

Thay tọa độ điểm M vào phương trình \(ax + by + c = 0\) ta có:

\(a\left( {{x_0} - b} \right) + b\left( {{y_0} + a} \right) + c = \left( { - ab + ba} \right) + \left( {a{x_0} + b{y_0} + c} \right) = 0\)      (đúng vì \( - a{x_0} - b{y_0} = c\))

Vậy \(M(x;y)\) thỏa mãn phương trình đã cho

x-2my=m+2 và x+2y=4

=>x-2my-x-2y=m+2-4

=>y(-2m-2)=m-2(1)

TH1: m=-1

(1) sẽ trở thành: \(y\left\lbrack-2\cdot\left(-1\right)-2\right\rbrack=-1-2\)

=>0y=-3(vô lý)

=>Loại

TH2: m<>-1

(1) sẽ tương đương: \(y=\frac{m-2}{-2m-2}=\frac{-m+2}{2\left(m+1\right)}\)

x+2y=4

=>\(x = 4 - 2y = 4 - \frac{2 - m}{m + 1} = \frac{4(m + 1) - (2 - m)}{m + 1} = \frac{5m + 2}{m + 1}\)

Thay \(x=\frac{5m+2}{m+1};y=\frac{-m+2}{2\left(m+1\right)}\) vào mx-(m+1)y=3m, ta được:

\(m \left(\frac{5m + 2}{m + 1}\right) - (m + 1) \left(\frac{2 - m}{2(m + 1)}\right) = 3m\)

=>\(2m(5m+2)-(m+1)(2-m)=6m(m+1)\)

=>\(10m^2+4m-(-m^2+m+2)=6m^2+6m\)

=>\(11m^2 + 3m - 2 = 6m^2 + 6m\)

=>\(5m^2-3m-2=0\)

=>\(5m^2-5m+2m-2=0\)

=>(m-1)(5m+2)=0

=>m=1 hoặc m=-2/5

=>\(m_0=1;m_0=-\frac25\)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}=2\\y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow G\left(2;3\right)\)

Do M nằm trên \(\Delta:3x-y+1=0\) nên \(M\left(m;3m+1\right)\). Ta có \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|3\overrightarrow{MG} \right|\) \(=3MG\)

Gọi I là tâm  tỉ cự của 2 điểm A, B ứng với bộ số \(\left(1;2\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\). Điều này có nghĩa \(\overrightarrow{IB}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\). Mà \(\overrightarrow{AB}=\left(3;3\right)\) nên \(\overrightarrow{IB}=\left(1;1\right)\) \(\Rightarrow I\left(1;5\right)\)

Với điểm M, ta có \(\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\right|=\left|\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)+2\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)\right|\) \(=\left|3\overrightarrow{MI}\right|=3MI\)  (do \(\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\))

Từ đó \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|+\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\right|\)

\(=3\left(MG+MI\right)\). Ta sẽ tìm GTNN của \(MG+MI\)

Ta thấy \(MG+MI\ge IG\). Ta lại có \(\left(3.2-3+1\right)\left(3.1-5+1\right)< 0\) nên I và G nằm khác phía so với đường thẳng \(\Delta:3x-y+1=0\). Do đó, \(MG+MI=IG\Leftrightarrow\) M nằm trên IG. 

Phương trình đường thẳng IG: \(\dfrac{y-3}{x-2}=\dfrac{5-3}{1-2}=-2\) \(\Leftrightarrow y-3=4-2x\) \(\Leftrightarrow2x+y-7=0\).

M thuộc IG \(\Leftrightarrow2m+\left(3m+1\right)-7=0\) \(\Leftrightarrow m=\dfrac{6}{5}\) \(\Rightarrow M\left(\dfrac{6}{5};\dfrac{23}{5}\right)\)

Vậy điểm \(M\left(\dfrac{6}{5};\dfrac{23}{5}\right)\) thỏa mãn ycbt.

TenAnh1 TenAnh1 A = (-4.3, -5.94) A = (-4.3, -5.94) A = (-4.3, -5.94) B = (11.06, -5.94) B = (11.06, -5.94) B = (11.06, -5.94) C = (-4.34, -5.84) C = (-4.34, -5.84) C = (-4.34, -5.84) D = (11.02, -5.84) D = (11.02, -5.84) D = (11.02, -5.84)
\(OB=OC=\dfrac{a}{2}\).
\(OA=\sqrt{BC^2-OC^2}=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\).
Vậy \(C\left(\dfrac{a}{2};0\right);B\left(-\dfrac{a}{2};0\right);A\left(0;\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)\).
b) \(x_E=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{a}{4}\); \(y_E=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\).
Vậy \(E\left(\dfrac{a}{4};\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\right)\).
c)Do tam giác ABC đều cạnh a nên tâm đường tròn ngoại tiếp chính là trọng tâm tam giác ABC.
\(x_I=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}=0\);
\(y_I=\dfrac{x_A+y_B+y_C}{3}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\).
Vậy \(I\left(0;\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\right)\).

a) \(\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}=2\left(3;-4\right)+3\left(2;5\right)=\left(6;-8\right)+\left(6;15\right)\)\(=\left(12;7\right)\).
b) \(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\left(3;-4\right)-\left(2;5\right)=\left(1;-9\right)\).
c) Hai véc tơ \(\overrightarrow{c}=\left(m;10\right)\) và \(\overrightarrow{v}\) cùng phương khi và chỉ khi:
\(\dfrac{m}{2}=\dfrac{10}{5}=2\Rightarrow m=4\).