Cho \(\Delta ABC\)có \(AA_1,BB_1,CC_1\)là các đường phân giác trong . Gọi khoảng cách từ \(A_1\)đến \(AB\)là \(a_1\), \(B_1\)đến \(BC\)là \(b_1\), \(C_1\)đến \(CA\)là \(c_1\). 

Tìm GTNN của \(\frac{a_1}{h_a}+\frac{b_1}{h_b}+\frac{c_1}{h_c}\)

Từ điểm G nằm trong \(\Delta ABC\) lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, CA, AB tại D, E, F. Trên các tia GD, GE, GF lần lượt lấy các điểm \(A^,,B^,,C^,\) sao cho \(\frac{GA^,}{BC}=\frac{GB^,}{CA}=\frac{GC^,}{AB}.\)

1. Gọi K là điểm đối xứng của \(A^,\) qua G. Chứng minh \(B^,K\perp AB.\)
2. Chững minh G là trọng tâm của \(\Delta A^,B^,C^,\)

qua diểm O nằm trong tam giác ABC vè đường thẳng song song với BC cắt AB,AC lần lượt tại D,E , đường thẳng song song với CA cắt BC,BA tại F,H , đường thẳng song song với AB cắt AC,BC tại I,K

a, CMR \(\frac{OD}{0E}\)\(\times\)\(\frac{OF}{OH}\)\(\times\)\(\frac{OI}{OK}\)=1

b \(\frac{AH}{AB}\)+\(\frac{BK}{BC}\)+\(\frac{CE}{CA}\)= 1

Bài 1: Cho G là trọng tâm △ABC. Qua G vẽ đường thẳng song song AB và AC cắt BC lần lượt tại D, E. Chứng minh:

a)\(\frac{BD}{BC}=\frac{1}{3}\)

b)\(BD=DE=EC\)

Bài 2: Đường thẳng d cắt các cạnh AB, AD và các đường chéo AC của hình bình hành ABCD lần lượt tại E, F, O.

Chứng minh: \(\frac{AB}{AE}+\frac{AD}{AF}=\frac{AC}{AO}\)

Bài 3: Cho A', B', C' lần lượt nằm trên cạnh BC, AC, AB của △ABC. Biết rằng AA', BB', CC' đồng quy tại M.

Chứng minh:\(\frac{AM}{A'M}=\frac{AB'}{CB'}+\frac{AC'}{BC'}\)

Bài 4: Cho △ABC và trung tuyến AM. Điểm O bất kỳ thuộc AM. F là giao điểm của BO và AC, E là giao điểm của OC và AB. Từ M kẻ đường thẳng song song OC cắt AB tại H và đường thẳng song song OB cắt AC tại K.Chứng minh:

a)EF//HK

b)EF//BC

Bài 5: Cho △ABC, kẻ đường thẳng song song BC cắt AB ở D và cắt AC ở E. Qua C kẻ Cx//AB và cắt DE ở G. Gọi H là giao điểm của AC và BG. Kẻ HI//AB (I thuộc BC).Chứng minh:

a)\(DA.EG=DB.DE\)

b)\(HC^2=HE.HA\)

c)\(\frac{1}{HI}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{CG}\)