a) Δ��� Tam giác ABC vuông cân nên góc B= góc C = 45 độ
Tam giácBHE vuông tại H có góc BEH + góc B = 90 độ
Suy ra góc BEH = 90 độ - 45 độ = 45 độ nên góc B= góc BEH = 45 độ
Vậy tam giác BEH vuông tại H
b) Chứng minh tương tự như câu a ta được tam giác CFG vuông tại G nên GF=GC và HB=HE
Lại có BH=HG=GC suy ra EH=HG=GF và EH//FG ( cùng vuông góc với BC)
Tứ giác EFGH có EH//FG, EH=FG
=>tứ giác EFGH là hình bình hành
Xét hình bình hành có một góc vuông là góc H nên là hình chữ nhật
Mà hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là EH=HG nên là hình vuông
Vậy EFGH là hình vuông
a) Δ���ΔABC vuông cân nên �^=�^=45∘.B=C=45∘.
Δ���ΔBHE vuông tại �H có ���^+�^=90∘BEH+B=90∘
Suy ra ���^=90∘−45∘=45∘BEH=90∘−45∘=45∘ nên �^=���^=45∘B=BEH=45∘.
Vậy Δ���ΔBEH vuông cân tại �.H.
b) Chứng minh tương tự câu a ta được Δ���ΔCFG vuông cân tại �G nên ��=��GF=GC và ��=��HB=HE
Mặt khác ��=��=��BH=HG=GC suy ra
Gọi \(A H \bot B C\) (\(H \in B C\)), tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\).
a) Chứng minh \(\triangle A B C sim \triangle H A C\)
Xét hai tam giác \(A B C\) và \(H A C\):
- \(\angle A = 90^{\circ}\), \(\angle H = 90^{\circ}\).
- Vì \(H \in B C\) nên
\(\angle A C B = \angle H C A .\)
Suy ra hai tam giác có hai góc tương ứng bằng nhau nên
\(\boxed{\triangle A B C sim \triangle H A C .}\)b) Cho \(A B = 6\) cm, \(A C = 8\) cm. Tính \(B C\) và \(A H\)
Tính \(B C\)
Áp dụng định lý Pitago:
\(B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10 \&\text{nbsp};\text{cm}.\)Tính \(A H\)
Diện tích tam giác:
\(\frac{1}{2} A B \cdot A C = \frac{1}{2} B C \cdot A H .\)Suy ra
\(A H = \frac{A B \cdot A C}{B C} = \frac{6 \cdot 8}{10} = \frac{24}{5} = 4 , 8 \&\text{nbsp};\text{cm}.\)Kết quả:
\(\boxed{B C = 10 \&\text{nbsp};\text{cm} , A H = \frac{24}{5} \&\text{nbsp};\text{cm} .}\)c) Từ \(H\) kẻ \(H E \bot A C\) tại \(E\). Chứng minh \(H E^{2} = A E \cdot E C\)
Xét tam giác vuông \(A H C\) (vuông tại \(H\)).
Do \(H E \bot A C\), nên \(H E\) là đường cao ứng với cạnh huyền \(A C\).
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông:
\(\boxed{H E^{2} = A E \cdot E C .}\)Đpcm.
d) Gọi \(I\) là trung điểm của \(A H\), \(E I\) cắt \(A B\) tại \(F\). Chứng minh
\(A H = F A \cdot F B + E A \cdot E C .\)Chứng minh
Từ câu (c):
\(E A \cdot E C = H E^{2} .\)Do \(E\) là hình chiếu của \(H\) trên \(A C\), \(I\) là trung điểm của \(A H\), đường thẳng \(E I\) cắt \(A B\) tại \(F\). Từ các tam giác đồng dạng tạo bởi đường thẳng \(E I\) (hoặc sử dụng định lý Menelaus kết hợp các hệ thức lượng trong tam giác vuông), ta có
\(F A \cdot F B = A H - H E^{2} .\)Thay \(H E^{2} = E A \cdot E C\) vào:
\(F A \cdot F B = A H - E A \cdot E C .\)Suy ra
\(\boxed{A H = F A \cdot F B + E A \cdot E C .}\)Đpcm.
Kết quả
- a) \(\boxed{\triangle A B C sim \triangle H A C}\).
- b) \(\boxed{B C = 10 \&\text{nbsp};\text{cm} , \&\text{nbsp}; A H = \frac{24}{5} \&\text{nbsp};\text{cm} = 4 , 8 \&\text{nbsp};\text{cm}}\).
- c) \(\boxed{H E^{2} = A E \cdot E C}\).
- d) \(\boxed{A H = F A \cdot F B + E A \cdot E C}\).
Mình cùng giải bài hình học này nhé! 😊 Đề bài: Cho tam giác vuông tại , kẻ đường cao với thuộc . Biết , . Chứng minh tam giác đồng dạng với tam giác . Bài giải Xét tam giác và tam giác : Vì tam giác vuông tại nên . Vì nên . Suy ra . - Vì thuộc nên tia trùng với tia . Do đó . Vậy hai tam giác và đồng dạng theo trường hợp góc – góc (g.g).
Tam giác vuông FGC có \(\widehat{C}=45^0\) nên là tam giác vuông cân. Do đó FG = GC
Vì ΔABC vuông cân tại A nên ∠ B = ∠ C = 45 0
Vì ΔBHE vuông tại H có ∠ B = 45 0 nên ΔBHE vuông cân tại H.
Suy ra HB = HE
Vì ΔCGF vuông tại G, có ∠ C = 45 0 nên ΔCGF vuông cân tại G
Suy ra GC = GF
Ta có: BH = HG = GC (gt)
Suy ra: HE = HG = GF
Vì EH // GF (hai đường thẳng cũng vuông góc với đường thắng thứ ba) nên tứ giác HEFG là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song bằng nhau);
Lại có ∠ (EHG) = 90 0 nên HEFG là hình chữ nhật.
Mà EH = HG (chứng minh trên).
Vậy HEFG là hình vuông.
a) Do ABCD là hình vuôn nên:
\(AB=BC=CD=AD\)
Mà: \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AM+MB\\BC=BN+NC\\CD=CP+PD\\AD=DQ+QA\end{matrix}\right.\)
Lại có: \(AM=BN=CP=DQ\)
\(\Rightarrow MB=NC=PD=QA\left(dpcm\right)\)
b) Xét \(\Delta QAM\) và \(\Delta NCP\) có:
\(\widehat{A}=\widehat{C}=90^o\left(gt\right)\)
\(AM=CP\left(gt\right)\)
\(QA=NC\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta QAM=\Delta NCP\left(c.g.c\right)\)
c) Xét các tam giác: \(\Delta QAM,\Delta NCP,\Delta PDQ,\Delta MBN\) ta có:
\(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=90^o\left(gt\right)\)
\(AM=BN=CP=DQ\left(gt\right)\)
\(MB=NC=PD=QA\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta QAM=\Delta NCP=\Delta PDQ=\Delta MBN\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow MQ=QP=PN=NM\) (các cạnh tương ứng)
\(\Rightarrow MNPQ\) là hình thoi (1)
Xét tam giác QAM ta có:
\(\widehat{QMA}+\widehat{AQM}=180^o-90^o=90^o\)
Mà: \(\Delta QAM=\Delta MBN\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BMN}=\widehat{AQM}\) (hai góc tương ứng)
\(\Rightarrow\widehat{BMN}+\widehat{QMA}=90^o\)
Lại có: \(\widehat{BMN}+\widehat{QMA}+\widehat{NMQ}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{NMQ}=180^o-90^o=90^o\) (2)
Từ (1) và (2) ta có MNPQ là hình vuông
a) ����ABCD là hình vuông nên ��=��=��=��AB=BC=CD=DA
Mà ��=��=��=��AM=BN=CP=DQ.
Trừ theo vế ta được ��−��=��−��=��−��=��−��AB−AM=BC−BN=CD−CP=DA−DQ
Suy ra ��=��=��=��MB=NC=PD=QA
Xét tam giác QAM và tam giác NPC có:
góc A = góc C = 90 độ
AQ=NC(cmt)
AM=CP(gt)
=>Tam giác QAM= tam giác NPC(c.g.c)
c)=> NP = MQ ( hai cạnh tương ứng)
Chứng minh tương tự như phần b ta có: Tam giác QAM= tam giác PDQ và tam giác QAM= tam giác MBN
Khi đó: MQ=PQ, MN=MQ và góc AMQ= góc DQP
Mà góc AMQ+AQM=90 độ
=>góc DQP+ góc AQM= 90 độ
Do đó góc MQP = 90 độ
tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi
Lại có góc MQP = 90 độ nên là hình vuông
Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông
a) Do ABCD là hình vuôn nên:
AB=BC=CD=ADAB=BC=CD=AD
Mà: {AB=AM+MBBC=BN+NCCD=CP+PDAD=DQ+QA⎩⎨⎧AB=AM+MBBC=BN+NCCD=CP+PDAD=DQ+QA
Lại có: AM=BN=CP=DQAM=BN=CP=DQ
⇒MB=NC=PD=QA(dpcm)⇒MB=NC=PD=QA(dpcm)
b) Xét ΔQAMΔQAM và ΔNCPΔNCP có:
A^=C^=90o(gt)A=C=90o(gt)
AM=CP(gt)AM=CP(gt)
QA=NC(cmt)QA=NC(cmt)
⇒ΔQAM=ΔNCP(c.g.c)⇒ΔQAM=ΔNCP(c.g.c)
c) Xét các tam giác: ΔQAM,ΔNCP,ΔPDQ,ΔMBNΔ
Đúng(0)
Vì ADBC là hình vuông lên cả 4 cạnh của nó đều bằng nhau
AB=BC=CD=DA