Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(u_n>2020\) với mọi \(n\in N\text{*}\) \(\left(\text{*}\right)\)
Thật vậy, dễ thấy \(u_1=2021>2020\)
Giả sử \(\left(\text{*}\right)\) đúng với \(n=k\left(k\ge1\right)\)
\(\Rightarrow u_k>2020\)\(\Rightarrow u_{k+1}=\left[1-\dfrac{1}{\left(k+1\right)^2}\right]u_k+\dfrac{2020}{\left(k+1\right)^2}\)
\(>\left[1-\dfrac{1}{\left(k+1\right)^2}\right].2020+\dfrac{2020}{\left(k+1\right)^2}=2020\)
\(\Rightarrow\left(\text{*}\right)\) đúng với \(n=k+1\)
Do đó theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm.
Lại có:
\(u_{n+1}-u_n=\dfrac{2020}{\left(n+1\right)^2}-\dfrac{u_n}{\left(n+1\right)^2}< 0\) với mọi \(n\in N\text{*}\)
\(\Rightarrow\left(u_n\right)\) là dãy giảm
\(\left(u_n\right)\) là dãy giảm và bị chặn nên \(\left(u_n\right)\) là dãy hội tụ
Đặt \(limu_n=L\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2020\le L\le2021\\L=\left[1-\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2}\right].L+\dfrac{2020}{\left(n+1\right)^2}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow L=2020\left(tm\right)\)
Vậy \(limu_n=2020\)
Ta có: \(u_n>2020\) với mọi \(n\in N\text{*}\) \(\left(\text{*}\right)\)
Thật vậy, dễ thấy \(u_1=2021>2020\)
Giả sử \(\left(\text{*}\right)\) đúng với \(n=k\left(k\ge1\right)\)
\(\Rightarrow u_k>2020\)\(\Rightarrow u_{k+1}=\left[1-\dfrac{1}{\left(k+1\right)^2}\right]u_k+\dfrac{2020}{\left(k+1\right)^2}\)
\(>\left[1-\dfrac{1}{\left(k+1\right)^2}\right].2020+\dfrac{2020}{\left(k+1\right)^2}=2020\)
\(\Rightarrow\left(\text{*}\right)\) đúng với \(n=k+1\)
Do đó theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm.
Lại có:
\(u_{n+1}-u_n=\dfrac{2020}{\left(n+1\right)^2}-\dfrac{u_n}{\left(n+1\right)^2}< 0\) với mọi \(n\in N\text{*}\)
\(\Rightarrow\left(u_n\right)\) là dãy giảm
\(\left(u_n\right)\) là dãy giảm và bị chặn nên \(\left(u_n\right)\) là dãy hội tụ
Đặt \(limu_n=L\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2020\le L\le2021\\L=\left[1-\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2}\right].L+\dfrac{2020}{\left(n+1\right)^2}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow L=2020\left(tm\right)\)
Vậy \(limu_n=2020\)
a: \(2u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}\)
=>\(u_{n+2}-u_{n+1}=-\frac{1}{2}(u_{n+1}-u_{n})\)
Đặt \(d_n = u_{n+1} - u_n\) . Ta sẽ có \(\left(d_{n}\right)\) là cấp số nhân với:
Số hạng đầu là \(d_1 = u_2 - u_1 = 1 - 0 = 1\)
Công bội là q=-1/2
Số hạng tổng quát là:
\(d_n = d_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)
Với n=1 thì ta có;
\(VT=1;VP=-\frac12\cdot u_1+1=-\frac12\cdot0+1=1\)
=>VT=VP
=>Đẳng thức \(u_{n+1} = -\frac{1}{2}u_n + 1\) đúng khi n=1
Giả sử đẳng thức \(u_{n+1} = -\frac{1}{2}u_n + 1\) đúng với n=k>1, tức \(u_{k+1} = -\frac{1}{2}u_k + 1\)
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n=k+1, hay \(u_{k+2} = -\frac{1}{2}u_{k+1} + 1\)
TA có: \(2u_{k+2} = u_{k+1} + u_k\)
=>\(u_{k+2} = \frac{1}{2}u_{k+1} + \frac{1}{2}u_k\)
=>\(u_{k+2} = \frac{1}{2}u_{k+1} + \frac{1}{2} \cdot \left[-2(u_{k+1} - 1)\right] = \frac{1}{2}u_{k+1} - u_{k+1} + 1 = -\frac{1}{2}u_{k+1} + 1\)
=>ĐPCM
b: \(v_n = u_n - \frac{2}{3}\)
=>\(v_{n+1} = u_{n+1} - \frac{2}{3}\)
mà \(u_{n+1} = -\frac{1}{2}u_n + 1\)
nên \(v_{n+1} = -\frac{1}{2}u_n + 1 - \frac{2}{3} = -\frac{1}{2}u_n + \frac{1}{3} = -\frac{1}{2}\left(u_n - \frac{2}{3}\right) = -\frac{1}{2}v_n\)
=>\(\left(v_{n}\right)\) là cấp số nhân có:
Số hạng đầu \(v_1=u_1-\frac23=0-\frac23=-\frac23\)
Công bội là q=-1/2
Số hạng tổng quát là:
\(v_n = v_1 \cdot q^{n-1} = -\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)
\(\lim u_n = \lim \left[-\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} + \frac{2}{3}\right] = 0 + \frac{2}{3} = \frac{2}{3}\)
\(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+1}\Rightarrow\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{1}{u_n}+1\)
Đặt \(\dfrac{1}{u_n}=v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=\dfrac{1}{u_1}=1\\v_{n+1}=v_n+1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow v_n\) là CSC với công sai \(d=1\Rightarrow v_n=v_1+\left(n-1\right).1=n\)
\(\Rightarrow u_n=\dfrac{1}{n}\)
\(\Rightarrow u_n+1=\dfrac{n+1}{n}\)
\(\lim\dfrac{2014\left(\dfrac{2}{1}\right)\left(\dfrac{3}{2}\right)\left(\dfrac{4}{3}\right)...\left(\dfrac{n+1}{n}\right)}{2015n}=\lim\dfrac{2014\left(n+1\right)}{2015n}=\dfrac{2014}{2015}\)
https://hoc24.vn/cau-hoi/giai-phuong-trinhleft3-4sin2xrightleft3-4sin23xright1-2cos10x.4916575957961
Giúp mik bài này với ạ