K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 3 2019
Lời giải:
Ta có công thức quen thuộc:
\(a_n=1+2+3+..+n=\frac{n(n+1)}{2}\)
\(a_{n+1}=1+2+3+...+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\)
Do đó:
\(a_n+a_{n+1}=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{(n+1)(n+n+2)}{2}=(n+1)(n+1)=(n+1)^2\) là số chính phương với mọi số tự nhiên $n\geq 1$
Vậy $a_n+a_{n+1}$ là số chính phương.
Đây là toán 8 thật à :(((((
\(a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_n+1\)
Đặt \(b_n=a_{n+1}-a_n\Rightarrow b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}\)
\(\Rightarrow b_{n+1}=a_{n+1}-a_n+1=b_n+1\)
Lại có \(b_1=a_{1+1}-a_1=a_2-a_1=2\)
\(\Rightarrow b_2=b_1+1\)
\(\Rightarrow b_3=b_2+1\)
...
\(\Rightarrow b_n=b_{n-1}+1\)
Cộng vế với vế:
\(b_2+b_3+...+b_{n-1}+b_n=b_1+b_2+...+b_{n-1}+1+1+...+1\) (n-1 số 1)
\(\Rightarrow b_n=b_1+1\left(n-1\right)=n+1\)
\(\Rightarrow a_{n+1}-a_n=n+1\)
Từ đó \(\Rightarrow a_{n+1}=a_n+n+1\)
\(\Rightarrow a_n=a_{n-1}+n\)
\(\Rightarrow a_{n-1}=a_{n-2}+n-1\)
...
\(\Rightarrow a_3=a_2+3\)
\(\Rightarrow a_2=a_1+2\)
Lại cộng vế với nhau:
\(a_{n+1}+a_n+...+a_3+a_2=a_n+a_{n-1}+...+a_2+a_1+\left(n+1\right)+n+...+2\)
\(\Rightarrow a_{n+1}=a_1+\left(n+1\right)+n+...+2\)
\(\Rightarrow a_{n+1}=\left(n+1\right)+n+...+2+1\)
\(\Rightarrow a_n=n+n-1+...+1=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
\(\Rightarrow a_{n+2}=\frac{\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{2}\)
\(\Rightarrow4a_{n+2}a_n+1=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\)
\(=n\left(n+3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)+1\)
\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)+1\)
\(=\left(n^2+3n\right)^2+2\left(n^2+3n\right)+1\)
\(=\left(n^2+3n+1\right)^2\) (đpcm)