a: ΔABC vuông tại A

=>\(BC^2=AB^2+AC^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2\)

=>BC=10(cm)

XétΔABC có AB<AC

mà \(\hat{ACB};\hat{ABC}\) lần lượt là góc đối diện với các cạnh AB và AC

nên \(\hat{ACB}<\hat{ABC}\)

b: Xét ΔMAB và ΔMEC có

MA=ME

\(\hat{AMB}=\hat{EMC}\) (hai góc đối đỉnh)

MB=MC

Do đó: ΔMAB=ΔMEC

=>\(\hat{MAB}=\hat{MEC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//EC

mà AB⊥ AC

nên CE⊥CA

=>\(\hat{ACE}=90^0\)

c: Xét ΔHAB vuông tại A và ΔHCE vuông tại C có

HA=HC

AB=CE

Do đó: ΔHAB=ΔHCE

=>HB=HE

a: Xét ΔMAB và ΔMEC có

MA=ME

\(\hat{AMB}=\hat{EMC}\) (hai góc đối đỉnh)

MB=MC

Do đó: ΔMAB=ΔMEC

b: ΔMAB=ΔMEC

=>BA=EC
Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBHF vuông tại H có

BH chung

\(\hat{HBA}=\hat{HBF}\)

Do đó: ΔBHA=ΔBHF

=>BA=BF và HA=HF

BA=BF

BA=EC

Do đó: BF=EC

c: Xét ΔMBE và ΔMCA có

MB=MC

\(\hat{BME}=\hat{CMA}\) (hai góc đối đỉnh)

ME=MA

Do đó: ΔMBE=ΔMCA

=>BE=CA

Xét ΔCHA vuông tại H và ΔCHF vuông tại H có

CH chung

HA=HF

Do đó: ΔCHA=ΔCHF

=>CA=CF
=>CF=BE

Xét ΔFBC và ΔECB có

FB=EC

BC chung

FC=EB

Do đó: ΔFBC=ΔECB

=>\(\hat{FBC}=\hat{ECB};\hat{FCB}=\hat{EBC}\)

Xét ΔKBC có \(\hat{KBC}=\hat{KCB}\)

nên ΔKBC cân tại K

=>KB=KC

=>K nằm trên đường trung trực cua BC(1)

Xét ΔIBC có \(\hat{IBC}=\hat{ICB}\)

nên ΔIBC cân tại I

=>I nằm trên đường trung trực cua BC(2)

Ta có: MB=MC

=>M nằm trên đường trung trực cua BC(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra K,I,M thẳng hàng

Xét tam giác AMB và tam giác DMC có:AM=MD(GT)

                                                         góc AMB=góc DMC(Đối đỉnh)

                                                         BM=MC(GT)

=>tam giác AMB=tam giác DMC(c.g.c)

A B C H D

Xét tam giác ABC có góc B > góc C suy ra AC > AB

Xét tam giác vuông ABH và tam giác vuông ACH

chung AH

có AC > AB (CMT)

suy ra HC > HB

c) Vì HC > HB (CMT)

Xét tam giác vuông BHD và tam giác vuông CHD

Có chung DH , BC >HB nên DC >DB

Xét tam giác BDC có DC > DB nên góc DBC > góc DCB

Bài 16: 

A B C M D

Xét tam giác ABM và tam giác DCM

có AM=DM (GT)

góc AMB=góc DMC (đối đỉnh)

BM=MC (GT)

suy ra tam giác ABM=tam giác DCM (c.g.c)   (1)

b) Từ (1) suy ra góc MAB = góc MDC (hai góc tuơng ứng)

mà  góc MAB so le trong  góc MDC

suy ra AB // CD 

c) Từ (1) suy ra AB = CD

Xét tam giác ACD có AC + CD > AD

mà AD=2AM, AB=CD (CMT)

suy ra AC +AB >2AM

Bài 1: Ta có hình vẽ sau:

B A C M E

a)Xét ΔABM và ΔECM có:

BM = CM (gt)

\(\widehat{AMB}=\widehat{EMC}\) (đỗi đỉnh)

MA = ME (gt)

=> ΔABM = ΔACM (c.g.c) (đpcm)

b) Vì ΔABM = ΔECM (ý a)

=> \(\widehat{MAB}=\widehat{MEC}\) (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này lại ở vị trí so le trong nên

=> AB // CE (đpcm)

Bài 5: Ta có hình vẽ sau:

O A B D C x y E

a) Vì OA = OB (gt) và AC = BD (gt)

=> OC = OD

Xét ΔOAD và ΔOBC có:

OA = OB (gt)

\(\widehat{O}\) : Chung

OC = OD (cm trên)

=> ΔOAD = ΔOBC (c.g.c)

=> AD = BC (2 cạnh tương ứng)(đpcm)

b) Vì ΔOAD = ΔOBC(ý a)

=> \(\widehat{OBC}=\widehat{OAD}\) và \(\widehat{ODA}=\widehat{OCB}\)

(những cặp góc tương ứng)

Xét ΔEAC và ΔEBD có:

\(\widehat{OBC}=\widehat{OAD}\) (cm trên)

AC = BD (gt)

\(\widehat{ODA}=\widehat{OCB}\) (cm trên)

=> ΔEAC = ΔEBD (g.c.g) (đpcm)

c) Vì ΔEAC = ΔEBD (ý b)

=> EA = EB (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔOAE và ΔOBE có:

OA = OB (gt)

\(\widehat{OBC}=\widehat{OAD}\) (đã cm)

EA = EB (cm trên)

=> ΔOAE = ΔOBE (c.g.c)

=> \(\widehat{AOE}=\widehat{BOE}\) (2 góc tương ứng)

=> OE là phân giác của \(\widehat{xOy}\)

a) Vì OA = OB (gt) và AC = BD (gt)

=> OC = OD

Xét ΔOAD và ΔOBC có:

OA = OB (gt)

OˆO^ : Chung

OC = OD (cm trên)

=> ΔOAD = ΔOBC (c.g.c)

=> AD = BC (2 cạnh tương ứng)(đpcm)

b) Vì ΔOAD = ΔOBC(ý a)

=> OBCˆ=OADˆOBC^=OAD^ và ODAˆ=OCBˆODA^=OCB^

(những cặp góc tương ứng)

Xét ΔEAC và ΔEBD có:

OBCˆ=OADˆOBC^=OAD^ (cm trên)

AC = BD (gt)

ODAˆ=OCBˆODA^=OCB^ (cm trên)

=> ΔEAC = ΔEBD (g.c.g) (đpcm)

c) Vì ΔEAC = ΔEBD (ý b)

=> EA = EB (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔOAE và ΔOBE có:

OA = OB (gt)

OBCˆ=OADˆOBC^=OAD^ (đã cm)

EA = EB (cm trên)

=> ΔOAE = ΔOBE (c.g.c)

=> AOEˆ=BOEˆAOE^=BOE^ (2 góc tương ứng)

=> OE là phân giác của xOyˆ

a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=6^2+8^2=100\)

hay BC=10(cm)

Xét ΔAMB và ΔDMC có 

MA=MD(gt)

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\)(hai góc đối đỉnh)

MB=MC(M là trung điểm của BC)

Do đó: ΔAMB=ΔDMC(c-g-c)

Suy ra: AB=DC(Hai cạnh tương ứng)

mà AB=6cm(gt)

nên DC=6cm

Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)

mà AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(M là trung điểm của BC)

nên \(AM=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

hay \(AM=\dfrac{10}{2}=5\left(cm\right)\)

Vậy: BC=10cm; DC=6cm; AM=5cm