a: Xét ΔABM và ΔACM có

AB=AC

AM chung

BM=CM

Do đó:ΔABM=ΔACM

b: Ta có: ΔABM=ΔACM

nên \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)

hay AM là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)

c: Ta có: AB=AC

nên A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: MB=MC

nên M nằm trên đường trung trực của BC(2)

từ (1) và (2) suy ra AM là đường trung trực của BC

A B C M 1 2 1 2

A)TA CÓ AB =AC

\(\Rightarrow\Delta ABC\)CÂN TẠI A

\(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{C}\)

XÉT \(\Delta AMB\)VÀ \(\Delta AMC\)CÓ

  \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\left(gt\right)\)

 \(AB=AC\left(GT\right)\)

   \(\widehat{B}=\widehat{C}\left(CMT\right)\)

\(\Rightarrow\Delta AMB=\Delta AMC\left(G-C-G\right)\)

B)VÌ \(\Delta AMB=\Delta AMC\left(G-C-G\right)\left(CMT\right)\)

   \(\Rightarrow\widehat{M_1}=\widehat{M_2}\)(HAI CẠNH TƯƠNG ỨNG)

MÀ\(\widehat{M}_1+\widehat{M}_2=180^o\left(KB\right)\)

THAY\(\widehat{M}_2+\widehat{M}_2=180^o\)

                    \(2\widehat{M}_2=180^o\)

                       \(\widehat{M}_2=\frac{180^o}{2}=90^o\)

 \(\Rightarrow AM\perp BC\)

C) \(\Delta AMB=\Delta AMC\left(G-C-G\right)\left(CMT\right)\)

=> BM=CM (HAI CẠNH TƯƠNG ỨNG)

=> M LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA BC

a) Xét ΔAMB và ΔAMC có:

AB=AC(gt)

\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)(AM là tia phân giác góc A)

AM chung

=> ΔAMB=ΔAMC(c.g.c)

b) Ta có: ΔAMB=ΔAMC(cmt)

=> \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\)

Mà 2 góc này là 2 góc kề bù

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=90^0\)

=> AM⊥BC

c)  Ta có: ΔAMB=ΔAMC(cmt)

=> BM=MC( 2 cạnh tương ứng)

=> M là trung điểm BC

a: Xét ΔABM và ΔACM có

AB=AC

\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)

AM chung

Do đó: ΔABM=ΔACM

b: Ta có: ΔAMB=ΔAMC

nên \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\)

mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^0\)

nên \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

hay AM⊥BC
c: Ta có: ΔABM=ΔACM

nên BM=CM

hay M là trung điểm của BC

Bài 1: Ta có hình vẽ sau:

B A C M E

a)Xét ΔABM và ΔECM có:

BM = CM (gt)

\(\widehat{AMB}=\widehat{EMC}\) (đỗi đỉnh)

MA = ME (gt)

=> ΔABM = ΔACM (c.g.c) (đpcm)

b) Vì ΔABM = ΔECM (ý a)

=> \(\widehat{MAB}=\widehat{MEC}\) (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này lại ở vị trí so le trong nên

=> AB // CE (đpcm)

Bài 5: Ta có hình vẽ sau:

O A B D C x y E

a) Vì OA = OB (gt) và AC = BD (gt)

=> OC = OD

Xét ΔOAD và ΔOBC có:

OA = OB (gt)

\(\widehat{O}\) : Chung

OC = OD (cm trên)

=> ΔOAD = ΔOBC (c.g.c)

=> AD = BC (2 cạnh tương ứng)(đpcm)

b) Vì ΔOAD = ΔOBC(ý a)

=> \(\widehat{OBC}=\widehat{OAD}\) và \(\widehat{ODA}=\widehat{OCB}\)

(những cặp góc tương ứng)

Xét ΔEAC và ΔEBD có:

\(\widehat{OBC}=\widehat{OAD}\) (cm trên)

AC = BD (gt)

\(\widehat{ODA}=\widehat{OCB}\) (cm trên)

=> ΔEAC = ΔEBD (g.c.g) (đpcm)

c) Vì ΔEAC = ΔEBD (ý b)

=> EA = EB (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔOAE và ΔOBE có:

OA = OB (gt)

\(\widehat{OBC}=\widehat{OAD}\) (đã cm)

EA = EB (cm trên)

=> ΔOAE = ΔOBE (c.g.c)

=> \(\widehat{AOE}=\widehat{BOE}\) (2 góc tương ứng)

=> OE là phân giác của \(\widehat{xOy}\)

a) Vì OA = OB (gt) và AC = BD (gt)

=> OC = OD

Xét ΔOAD và ΔOBC có:

OA = OB (gt)

OˆO^ : Chung

OC = OD (cm trên)

=> ΔOAD = ΔOBC (c.g.c)

=> AD = BC (2 cạnh tương ứng)(đpcm)

b) Vì ΔOAD = ΔOBC(ý a)

=> OBCˆ=OADˆOBC^=OAD^ và ODAˆ=OCBˆODA^=OCB^

(những cặp góc tương ứng)

Xét ΔEAC và ΔEBD có:

OBCˆ=OADˆOBC^=OAD^ (cm trên)

AC = BD (gt)

ODAˆ=OCBˆODA^=OCB^ (cm trên)

=> ΔEAC = ΔEBD (g.c.g) (đpcm)

c) Vì ΔEAC = ΔEBD (ý b)

=> EA = EB (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔOAE và ΔOBE có:

OA = OB (gt)

OBCˆ=OADˆOBC^=OAD^ (đã cm)

EA = EB (cm trên)

=> ΔOAE = ΔOBE (c.g.c)

=> AOEˆ=BOEˆAOE^=BOE^ (2 góc tương ứng)

=> OE là phân giác của xOyˆ

a) Xét ∆AMB và ∆AMC có : 

BM =  MC ( M là trung điểm BC )

AM chung 

AB = AC 

=> ∆AMB = ∆AMC (c.c.c)

b) Vì AB = AC 

=> ∆ABC cân tại A 

Mà AM là trung tuyến 

=> AM \(\perp\)BC 

Mà a\(\perp\)AM 

=> a//BC ( từ vuông góc tới song song )

c) Vì CN//AM (gt)

AN//MC ( a//BC , M thuộc BC)

=> ANCM là hình bình hành 

=> NC = AM , AN = MC

Mà AMC = 90° 

=> ANCM là hình chữ nhật 

=> NAM = AMC = MCN =  CNA = 90° 

Xét ∆ vuông NAC và ∆ vuông MCA có : 

AN = MC

AM = CN

=> ∆NAC = ∆MCA (ch-cgv)

d) Vì ANCM là hình chữ nhật (cmt)

=> AC = MN , I là trung điểm 2 đường chéo NM và AC (dpcm)

a: Xét ΔABM và ΔACN có

AB=AC

\(\hat{ABM}=\hat{ACN}\) (ΔABC cân tại A)

BM=CN

Do đó: ΔABM=ΔACN

b: BM+MD=BD

CN+ND=CD
mà BM=CN và MD=ND

nên BD=CD

Xét ΔADB và ΔADC có

AD chung

DB=DC

AB=AC

Do đó: ΔADB=ΔADC

=>\(\hat{BAD}=\hat{CAD}\)

=>AD là phân giác của góc BAC

c: Xét ΔMEB vuông tại E và ΔNFC vuông tại F có

MB=NC

\(\hat{MBE}=\hat{NCF}\) (ΔABC cân tại A)

Do đó: ΔMEB=ΔNFC
=>ME=NF và EB=FC

EB+EA=AB

FC+FA=AC

mà EB=FC và AB=AC

nên AE=AF

Xét ΔABC có \(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

nên EF//BC

d: Ta có: \(\hat{HMN}=\hat{EMB}\) (hai góc đối đỉnh)

\(\hat{HNM}=\hat{FNC}\) (hai góc đối đỉnh)

mà \(\hat{EMB}=\hat{FNC}\) (ΔEMB=ΔFNC)

nên \(\hat{HMN}=\hat{HNM}\)

=>HM=HN

HM+ME=HE

HN+NF=HF

mà HM=HN và ME=NF

nên HE=HF

Xét ΔHEB vuông tại E và ΔHFC vuông tại F có

HE=HF

EB=FC

DO đó: ΔHEB=ΔHFC

=>HB=HC

=>H nằm trên đường trung trực của BC(1)

DB=DC

=>D nằm trên đường trung trực của BC(2)

Ta có: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra A,H,D thẳng hàng