khó vãi

A C H D E M N B O K

1a) A=D=E=90 độ

=>AEHD là hcn 

=>AH=DE

b)Xét tam giác DBH vuông tại D có:

DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BH

=>DI=BH/2=IH

=>tam giác IDH cân tại I

=>góc IDH=góc IHD (1)

Gọi O là gđ 2 đường chéo AH và DE

=>OD=OA=OE=OH (tự c/m)

=> tam giác DOH cân tại O

=> góc ODH=góc OHD(2)

từ (1) và (2) => góc ODH+góc IDH=90 độ(EHD+DHI=90 độ)

=>IDvuông góc DE(3)

Cmtt ta được: KEvuông góc DE(4)

Từ (3)và (4) => DI//KE.

2a) Ta có góc HAB+góc HAC=90 độ (1)

Xét tam giác ABC vuông tại A có 

AM là đg trung tuyến ứng vs cạnh huyền BC

=>AM=MC

=>tam giác AMC cân

=>góc MAC=góc ACM

Lại có: góc HAC+góc ACH=90 độ(2)

Từ (1) và (2) => góc BAH=góc ACM

Mà góc AMC=góc MAC(cmt)

=>ABH=MAC(3)

b)A=D=E=90 độ

=>AFHE là hcn

Gọi O là gđ EF và AM

OA=OF(tự cm đi nha)

=>tam giác OAF cân

=>OAF=OFA(4)

Ta có : OAF+MCA=90 độ(5)

Từ (3)(4) và (5)

=>MAC+OFA=90 độ

Hay AM vuông góc EF

k giùm mình nha.

A B C D E H Q P O

a) Tg ADHE có \(\widehat{BAC}=\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=90^o\)

=> Tg ADHE là hcn

=> DE = AH ( t/c hcn )

b) ΔECH vuông ở E => EQ = HQ = \(\dfrac{1}{2}HC\)

+)Tg ADHE là hcn

=> OH = OE = OD

+)Xét ΔQEO và ΔQHO có :

HQ = EQ ( cmt )

OH = OE ( cmt )

OQ chung

=> ΔQEO = ΔQHO ( c.c.c )

=> \(\widehat{OHQ}=\widehat{OEQ}\\ mà:\widehat{OHQ}=90^o\Rightarrow\widehat{QEO}=90^o\Rightarrow EQ\perp DE\)

cmtt , được ΔDPO = ΔHPO ( c.c.c ) => PD ⊥ DE

+) \(EQ\perp DE\\ PD\perp DE\) ( cmt ) ==> EQ // PD => Tg DEQP là hình thang

mà \(\widehat{PDE}=90^o\left(cmt\right)\) => Tg DEQP là hình thang cân

c) Dễ c/m được QO là đường trung bình ΔAHC

=> QO // AC mà AC ⊥ AB => QO ⊥ AB

=> QO là đường cao ΔABQ tại đỉnh B

+) ΔABQ có AH , QO lần lượt là đường cao của BQ và AB

mà \(AH\cap QOtạiO\)

=> O là trực tâm ΔABQ

d) Ta có :

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}BC\cdot AH\\ =\dfrac{1}{2}\left(BH+CH\right)\cdot DE\\ =\dfrac{1}{2}\left(2DP+2EQ\right)\cdot DE\\ =\dfrac{1}{2}\cdot2\cdot\left(DP+EQ\right)\cdot DE\\ =\left(DP+EQ\right)\cdot ED\)

\(S_{DEQP}=\dfrac{1}{2}\left(DP+EQ\right)\cdot ED\)

mà S_ABC = ( DP + EQ ) . DE

=> S_ABC = 2S_DEQP

Giả thiết

Tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\).
\(A H\) là đường cao (\(H \in B C\)).
Qua \(H\) kẻ:

• \(H D \bot A B\) tại \(D\),
• \(H E \bot A C\) tại \(E\).

Gọi \(O = A H \cap D E\).
\(P , Q\) lần lượt là trung điểm của \(B H , C H\).

a) Chứng minh \(A H = D E\)

• Ta có:
  \(A B \bot A C \Rightarrow H D \parallel A C , H E \parallel A B\)
• Suy ra tứ giác \(A D H E\) có:
  \(A D \parallel H E , A E \parallel H D\)

⇒ \(A D H E\) là hình bình hành.

• Lại có:
  \(A D \bot A E \left(\right. \text{do}\&\text{nbsp}; A B \bot A C \left.\right)\)

⇒ \(A D H E\) là hình chữ nhật.

Trong hình chữ nhật:

• Hai đường chéo bằng nhau

⇒

\(A H = D E\)

✔ Chứng minh xong.

b) Chứng minh tứ giác \(D E Q P\) là hình thang vuông

Bước 1. Chứng minh \(P Q \parallel D E\)

• Trong tam giác \(B H C\):
• • \(P\) là trung điểm \(B H\),
  • \(Q\) là trung điểm \(C H\).

⇒ \(P Q\) là đường trung bình của tam giác \(B H C\):

\(P Q \parallel B C\)

• Mà \(A H \bot B C\) và \(D E \bot A H\) (do \(D E\) là đường chéo hình chữ nhật)

⇒

\(D E \parallel B C\)

Suy ra:

\(P Q \parallel D E\)

Bước 2. Chứng minh hình thang vuông

• Ta có:
  \(H D \bot A B \Rightarrow H D \bot D P\)
• Do đó một cạnh bên của hình thang vuông góc với đáy.

⇒ \(D E Q P\) là hình thang vuông.

c) Chứng minh \(O\) là trực tâm tam giác \(A B Q\)

• Ta có:
• • \(A H \bot B C \Rightarrow A H \bot B Q\)
  • \(D E \bot A H \Rightarrow D E \bot A B\)
• Điểm \(O\) là giao điểm của:
• • đường cao từ \(A\),
  • đường cao từ \(Q\).

⇒ \(O\) là trực tâm của tam giác \(A B Q\).

d) Chứng minh \(S_{A B C} = 2 S_{D E Q P}\)

• Vì \(P Q\) là đường trung bình của tam giác \(B H C\):

\(P Q = \frac{1}{2} B C\)

• Chiều cao hình thang \(D E Q P\) bằng \(H D = \frac{1}{2} A H\).

⇒

\(S_{D E Q P} = \frac{\left(\right. D E + P Q \left.\right) \cdot H D}{2} = \frac{\left(\right. A H + \frac{1}{2} B C \left.\right) \cdot \frac{1}{2} A H}{2}\)

• Trong khi:

\(S_{A B C} = \frac{1}{2} B C \cdot A H\)

So sánh suy ra:

\(S_{A B C} = 2 S_{D E Q P}\)

✔ Chứng minh hoàn tất.

✅ Kết luận

a) \(A H = D E\)
b) \(D E Q P\) là hình thang vuông
c) \(O\) là trực tâm tam giác \(A B Q\)
d) \(S_{A B C} = 2 S_{D E Q P}\)

A B C I H D E O K

Cm:a) Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{A}=\widehat{ADH}=\widehat{HEA}=90^0\)

=> ADHE là hình chữ nhật

đt DE cắt đt AH tại O

=> OA = OE

b) Ta có: OA = OE => t/giác AOE cân tại O => \(\widehat{OAE}=\widehat{OEA}\) hay \(\widehat{HAC}=\widehat{DEA}\)

Ta lại có: t/giác ABC vuông tại A => \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)

           t/giác AHC vuông tại A => \(\widehat{HAC}+\widehat{C}=90^0\)

=> \(\widehat{B}=\widehat{HAC}\) 

mà \(\widehat{HAC}=\widehat{DEA}\) 

=> \(\widehat{ABC}=\widehat{AED}\)(đpcm)

c) Gọi K là giao điểm của AI và DE

Xét t/giác ABC vuông tại A có AI là đường trung tuyến (BI = IC)

=> AI = IB = IC = 1/2BC

=> t/giác AIC cân tại I

=> \(\widehat{IAC}=\widehat{C}\) hay \(\widehat{KAE}=\widehat{C}\)

Ta có: \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\) 

mà \(\widehat{B}=\widehat{KEA}\) (cmt); \(\widehat{C}=\widehat{KAE}\)(Cmt)

=> \(\widehat{KAE}+\widehat{KEA}=90^0\)

Xét t/giác AKE có \(\widehat{KAE}+\widehat{KEA}=90^0\) => \(\widehat{AKE}=90^0\)

=> AI \(\perp\)DE

a) Xét tứ giác ADHE 

Ta có: góc A=90⁰(gt)

góc ADH=90⁰(gt)

góc EHD=90⁰(gt)

=>tứ giác ADHE là hcn

=>AH=DE(đpcm)