Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.
Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.
Thể tích đã cho: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{6}$
Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$
Thể tích: $V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z \Rightarrow \dfrac{a^2 \cdot h}{3} = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{6} \Rightarrow h = \dfrac{a \sqrt{15}}{2}$
Tọa độ $S\left(\dfrac{a}{2},0,\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\right)$ và $C(a,a,0)$
Vector $\vec{SC} = (a - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - \dfrac{a\sqrt{15}}{2}) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\right)$
Chiều dài trong mặt phẳng đáy: $SC_{xy} = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + a^2} = \dfrac{a\sqrt5}{2}$
Góc $\theta$ giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy:
$\tan \theta = \dfrac{|SC_z|}{SC_{xy}} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{15}}{2}}{\dfrac{a\sqrt5}{2}} = \sqrt{3} \Rightarrow \theta = 60^\circ$
Chọn C.
Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.
Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Trung điểm $H$ của $AB$ là
$H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$
và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử
$S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.
Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy là $45^\circ$.
Vector $\vec{SC}$ là
$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2},\ 2a - 0,\ 0 - h \right) = \left(\dfrac{a}{2},\ 2a,\ -h\right)$
Chiều dài trong mặt phẳng đáy:
$SC_{xy} = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + (2a)^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + 4a^2} = \sqrt{\dfrac{17a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt{17}}{2}$
Góc giữa $SC$ và mặt đáy:
$\tan \theta = \dfrac{|SC_z|}{SC_{xy}} = \dfrac{h}{\dfrac{a\sqrt{17}}{2}}$
Vì $\theta = 45^\circ \Rightarrow \tan 45^\circ = 1$, nên
$\dfrac{h}{\dfrac{a\sqrt{17}}{2}} = 1 \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{17}}{2}$
Tọa độ điểm $S\left(\dfrac{a}{2},0,\dfrac{a\sqrt{17}}{2}\right)$ và $D(0,2a,0)$. Trung điểm $M$ của $SD$ là:
$M = \left(\dfrac{\dfrac{a}{2}+0}{2},\ \dfrac{0+2a}{2},\ \dfrac{\dfrac{a\sqrt{17}}{2}+0}{2}\right) = \left(\dfrac{a}{4},\ a,\ \dfrac{a\sqrt{17}}{4}\right)$
Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(SAC)$:
$\vec{n} = \vec{SA} \times \vec{SC} = \left(-\dfrac{a}{2},0,-\dfrac{a\sqrt{17}}{2}\right) \times \left(\dfrac{a}{2},2a,-\dfrac{a\sqrt{17}}{2}\right) = \left(a^2 \sqrt{17}, 0, -a^2\right)$
Phương trình mặt phẳng $(SAC)$:
$a^2\sqrt{17}(x - \dfrac{a}{2}) + 0 \cdot (y-0) + (-a^2)(z-\dfrac{a\sqrt{17}}{2})=0 \Rightarrow z - \sqrt{17} x = 0$
Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(SAC)$:
$d = \dfrac{|z_M - \sqrt{17} x_M|}{\sqrt{(\sqrt{17})^2 + (-1)^2}} = \dfrac{|\dfrac{a\sqrt{17}}{4} - \sqrt{17} \cdot \dfrac{a}{4}|}{\sqrt{17+1}} = 0$
Vậy $M$ nằm trên mặt phẳng $(SAC)$, nên khoảng cách $d = 0$.
a/ Ta có: \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BD\)
Mà \(BD\perp AC\) (hai đường chéo hình thoi)
\(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)
c/ Do \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow AC\) là hình chiếu của SC lên (ABCD)
\(\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABCD)
\(\widehat{ABC}=60^0\Rightarrow\Delta ABC\) đều \(\Rightarrow AC=a\)
\(tan\widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow\widehat{SCA}=60^0\)
Đáp án C
Gọi H là trung điểm của AB khi đó SH ⊥ AB
Do (SAB) ⊥ (ABCD) => SH ⊥ (ABCD)
Do SAB vuông cân tại S nên
Đáp án A
Gọi H là trung điểm của AB, tam giác SAB cân tại S do đó SH⊥AB mà (SAB)⊥ (ABCD) nên SH⊥ (ABCD). Góc giữa SC và đáy là SCH =600.
Tam giác BHC vuông tại B nên
Tam giác SHC vuông tại H nên SH = SC.tanSCH 
Do vậy 
Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.
Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Trung điểm $H$ của $AB$ là
$H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$
và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử
$S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.
Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy là $\theta = 60^\circ$.
Vector $\vec{SC}$ là
$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2},\ 2a - 0,\ 0 - h \right) = \left(\dfrac{a}{2},\ 2a,\ -h\right)$
Chiều dài trong mặt phẳng đáy:
$SC_{xy} = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + (2a)^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + 4a^2} = \sqrt{\dfrac{17a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt{17}}{2}$
Góc giữa $SC$ và mặt đáy:
$\tan \theta = \dfrac{|SC_z|}{SC_{xy}} = \dfrac{h}{\dfrac{a\sqrt{17}}{2}}$
Vì $\theta = 60^\circ \Rightarrow \tan 60^\circ = \sqrt{3}$, nên
$\dfrac{h}{\dfrac{a\sqrt{17}}{2}} = \sqrt{3} \Rightarrow h = \dfrac{a \sqrt{51}}{2}$
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot h$
Diện tích đáy:
$S_{ABCD} = AB \cdot AD = a \cdot 2a = 2a^2$
Vậy: $V = \dfrac{1}{3} \cdot 2a^2 \cdot \dfrac{a\sqrt{51}}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt{51}}{3}$
Đáp án: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{51}}{3}$