Cho \(a_1,a_2,a_3,...,a_n\left(n\ge2\right)\) là các số thực thỏa mãn \(a_1a_2+a_2a_3+...+a_{n-1}a=1\)

Chứng minh rằng : \(a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2\ge\frac{1}{\cos\frac{\pi}{n+1}}\)

Cho \(\left(a_1\right)^2+\left(2a_2\right)^2+\left(3a_3\right)^2+.....+\left(2013a_{2013}\right)^2+\left(2014a_{2014}\right)^2=2725088015\)

tính giá trị của biểu thức 

\(P=a_1+a_2+a_3+a_4+.....+a_{2013}+a_{2014}\)

Biết \(a_1;a_2;a_3;a_4;....;a_{2013};a_{2014}\)là các số nguyên khác \(0\)

(toán máy tính cầm tay)

chứng minh với 50 số nguyên dương bất kì luôn có thể chọn được 4 số trong chúng chẳng hạn \(a_1,a_2,a_3,a_4\)sao cho \(\left(a_2-a_1\right)\left(a_4-a_3\right)\) là bội của 2018

Chứng minh rằng với các số thực dương \(a_1,a_2,a_3,...a_n\)thì:

\(\sqrt[n]{\frac{a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2}{n}}\)\(\ge\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n}\)\(\ge\sqrt[n]{a_1a_2a_3...a_n}\)\(\ge\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+...+\frac{1}{a_n}}\)

Bài 17: Cho a1; a2; a3….. a5 > 0 và có tổng bằng 1 Chứng minh:\(\left(\frac{1}{a_5}-1\right)\left(\frac{1}{a_4}-1\right)\left(\frac{1}{a_3}-1\right)\left(\frac{1}{a_2}-1\right)\left(\frac{1}{a_1}-1\right)\ge1024\)

Cho \(a_1\le a_2\le....\le a_n\)  thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}a_1+a_2+a_3+...+a_n=0\\\left|a_1\right|+\left|a_2\right|+\left|a_3\right|+...+\left|a_n\right|=1\end{cases}}\)

CMR: \(a_n-a_1\ge\frac{2}{n}\)

Cho một bát giác lồi, dựng ra ngoài bát giác đó 8 hình vuông có tâm lần lượt là \(A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6,A_7,A_8\).Gọi \(M,N,P,Q\)lần lượt là trung điểm của \(A_1A_5;A_2A_6;A_3A_7;A_4A_8\). Chứng minh rằng tứ giác \(MNPQ\)là một tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau và bằng nhau.

cho các số nguyên dương: \(a_1;a_2;a_3;...;a_{2013}\) sao cho:

\(N=a_1+a_2+a_3+...+a_{2013}\) chia hết cho 30.

chứng minh: \(M=a_1^5+a_2^5+a_3^5+...+a_{2013}^5\) chia hết cho 30.