Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(x=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=4-\sqrt{15}\)
Vì \(x=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\)là nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+1=0\)nên:
\(a\left(4-\sqrt{15}\right)^2+b\left(4-\sqrt{15}\right)+1=0\)
\(\Leftrightarrow a\left(31-8\sqrt{15}\right)+4b-\sqrt{15}b+1=0\)
\(\Leftrightarrow31a-8\sqrt{15}a+4b-\sqrt{15}b+1=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{15}\left(8a+b\right)=31a+4b+1\)
Do a b, là các số hữu tỉ nên \(31a+4b+1\)và \(8a+b\) là các số hữu tỉ
\(\Rightarrow\sqrt{15}\left(8a+b\right)\)là số hữu tỉ
Do đó \(\hept{\begin{cases}8a+b=0\\31a+4b+1=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=-8\end{cases}}\)
Vậy a = 1; b = -8
Câu 1. Đặt \(x=\sqrt[3]{a},y=\sqrt[3]{b}\to x^3+y^3=2\to2=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right).\)
Vì \(x^2-xy+y^2=\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}>0\) nên suy ra \(x+y>0.\)
Mặt khác ta có \(x^2-xy+y^2=\frac{1}{4}\left(4x^2-4xy+4y^2\right)=\frac{1}{4}\left(x^2+2xy+y^2\right)+\frac{3}{4}\left(x^2-2xy+y^2\right)\)
\(=\frac{\left(x+y\right)^2}{4}+\frac{3\left(x-y\right)^2}{4}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)
Vậy \(2\ge\left(x+y\right)\cdot\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{\left(x+y\right)^3}{4}\to8\ge\left(x+y\right)^3\to2\ge x+y.\)
$x = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{7})^2 - 2\sqrt{7}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2}$
$= \frac{7 - 2\sqrt{35} + 5}{7 - 5} = \frac{12 - 2\sqrt{35}}{2} = 6 - \sqrt{35}$
$x - 6 = -\sqrt{35}$
$(x - 6)^2 = (-\sqrt{35})^2$
$x^2 - 12x + 36 = 35$
$x^2 - 12x + 1 = 0$
Thực hiện phép chia đa thức $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 1$ cho $x^2 - 12x + 1$:
$x^3 + ax^2 + bx - 1 = (x^2 - 12x + 1)(x + a + 12) + (12a + b + 143)x - (a + 13)$
Để $x$ là nghiệm thì số dư bằng 0:$\begin{cases} a + 13 = 0 \\ 12a + b + 143 = 0 \end{cases}$
$\begin{cases} a = -13 \\ 12(-13) + b + 143 = 0$
$-156 + b + 143 = 0$
$b = 13 \end{cases}$$P(x) = x^3 - 13x^2 + 13x - 1 = (x - 1)(x^2 - 12x + 1) = 0$
$\left[ \begin{aligned} &x - 1 = 0$
$x = 1 \\ &x^2 - 12x + 1 = 0$
$(x - 6)^2 = 35$
$x = 6 \pm \sqrt{35} \end{aligned} \right.$
4. \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=6\sqrt{55}\)
\(6\sqrt{55}\) là số vô tỉ, suy ra vế trái phải là các căn thức đồng dạng chứa \(\sqrt{55}\)
Đặt \(\sqrt{x}=a\sqrt{55};\sqrt{y}=b\sqrt{55}\) với \(a,b\in N\)
\(\Rightarrow a+b=6\)
Xét các TH:
a = 0 => b = 6
a = 1 => b = 5
a = 2 => b = 4
a = 3 => b = 3
a = 4 => b = 2
a = 5 => b = 1
a = 6 => b = 0
Từ đó dễ dàng tìm đc x, y