hello

Sửa lại đề bài: Phải là đôi một nguyên tố cùng nhau

+) Gọi 3 số tự nhiên cần tìm là : a, b , c 

Theo bài ra ( a; b ) = 1; ( b ; c ) = 1; ( a; c ) = 1

và a + b \(⋮\)c ; a + c \(⋮\)b; b+c \(⋮\)a.

=> a + b + c \(⋮\)c  ; a + c +b \(⋮\)b; b + c + a \(⋮\)a 

=> a + b + c  \(⋮\)BCNN ( a; b ; c ) 

Mặt khác  a, b ,c đôi một nguyên tố cùng nhau => BCNN ( a; b ; c ) = abc 

=> a + b + c \(⋮\)abc 

+) Tìm 3 số đó.

Ta có: a + b + c  \(⋮\)abc 

=> a + b + c \(\ge\)abc 

Không mất tính tổng quát : g/s: a > b > c 

=> a + b + c  < 3a 

=> abc < 3a 

=> bc < 3 mà a; b ; c là số tự nhiên 

=> b = 2  và c = 1 

Vì a + b  \(⋮\)c => 3 \(⋮\)c => c = 3 

Thử lại ta thấy 3 + 2 \(⋮\)1; 1 + 2 \(⋮\)3; 1 + 3 \(⋮\)2  và 1; 2; 3 là 3 số nguyên tố cùng nhau.

Vậy 3 số cần tìm là 1; 2; 3 

Ta có nhận xét: Với mọi số nguyên \(n\), ta luôn có \(n^3-n\) chia hết cho 6.

Thật vậy:

\(n^3-n=n(n-1)(n+1)\).

Vì \(n-1,n,n+1\) là ba số nguyên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 2 và 3.

Suy ra \(n^3-n\) chia hết cho 6.

a) Chứng minh tổng các lập phương của hai số nguyên chia hết cho 6 khi và chỉ khi tổng hai số nguyên đó chia hết cho 6.

Ta có:

\(a^3-a\) chia hết cho 6.

\(b^3-b\) chia hết cho 6.

Suy ra:

\((a^3+b^3)-(a+b)\) chia hết cho 6.

Hay \(a^3+b^3\) và \(a+b\) có cùng số dư khi chia cho 6.

Do đó:

- Nếu \(a^3+b^3\) chia hết cho 6 thì \(a+b\) chia hết cho 6.

- Nếu \(a+b\) chia hết cho 6 thì \(a^3+b^3\) chia hết cho 6.

Vậy điều phải chứng minh.

b) Chứng minh tổng các lập phương của ba số nguyên chia hết cho 6 khi và chỉ khi tổng ba số nguyên đó chia hết cho 6.

Tương tự câu a, ta có:

\(a^3-a\) chia hết cho 6.

\(b^3-b\) chia hết cho 6.

\(c^3-c\) chia hết cho 6.

Cộng ba biểu thức trên, ta được:

\((a^3+b^3+c^3)-(a+b+c)\) chia hết cho 6.

Hay \(a^3+b^3+c^3\) và \(a+b+c\) có cùng số dư khi chia cho 6.

Do đó:

- Nếu \(a^3+b^3+c^3\) chia hết cho 6 thì \(a+b+c\) chia hết cho 6.

- Nếu \(a+b+c\) chia hết cho 6 thì \(a^3+b^3+c^3\) chia hết cho 6.

Vậy điều phải chứng minh. \(\square\)

Đặt d = (a, b, c, d) thì a = dx; b = dy; c = dz; d = dt với (x, y, z, t) = 1.

Dễ thấy x, y, z, t có tính chất giống như a, b, c, d.

Giả sử không tồn tại 3 số trong x, y, z, t bằng nhau. 

Gọi x là số lớn nhất thì x > 1. Nếu x có ước nguyên tố p khác 2 thì p lẻ. Ta thấy \(y^2+z^2⋮xt\Rightarrow y^2+z^2⋮p\). Tương tự \(z^2+t^2⋮p;t^2+y^2⋮p\Rightarrow y^2-z^2⋮p\Rightarrow2y^2⋮p\Rightarrow y⋮p\). Do đó \(x,z,t⋮p\), vô lí.

Do đó x chỉ có ước nguyên tố là 2. 

Nếu \(x=2^k\left(k>1\right)\) thì tương tự ta có \(2y^2⋮2^k\Rightarrow y⋮2\). Tương tự z, t chia hết cho 2 (vô lí)

Do đó x = 2.

Giả sử \(x\ge y\ge z\ge t\) thì y = 2; z = t = 1 (Do không có 3 số bằng nhau)

Thử lại ta thấy không thỏa mãn.

Vậy...