Câu hỏi của Phạm Phương Anh

Question

Cho $A=\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60+...+\sqrt[3]{60}}}}$

Chứng minh rằng: $3< A< 4$ .Tìm \(\lef...

Akai Haruma · Accepted Answer

Lời giải:

Dễ thấy: $A>\sqrt[3]{60}>\sqrt[3]{27}=3$

Để cm $A< 4$ ta sử dụng quy nạp:

Ta thấy $A_1=\sqrt[3]{60}< \sqrt[3]{64}=4$

$A_2=\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60}}< \sqrt[3]{60+\sqrt[3]{64}}=4$

.....

Giả sử nhận định đúng đến $n=k$, tức là:

$A_k=\underbrace{\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60+....+\sqrt[3]{60}}}}_{\text{k số 60}}<4$

Ta thấy $A_{k+1}=\underbrace{\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60+...+\sqrt[3]{60}}}}}_{\text{k+1 số 60}}=\sqrt[3]{60+A_k}$

$<\sqrt[3]{60+4}\Leftrightarrow A_{k+1}< 4$, tức là nhận định đúng với cả $n=k+1$

Do đó $A< 4$

Vậy $3< A< 4$. Theo định nghĩa phần nguyên suy ra $[A]=3$

Câu trả lời: