Bài 5.

1. Chứng minh

$\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}$

Ta có:

$\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{4}{a+b}$

$=\dfrac{2b(a+b)+a(a+b)-4ab}{ab(a+b)}$

$=\dfrac{a^2-ab+2b^2}{ab(a+b)}$

$=\dfrac{(a-b)^2+b^2}{ab(a+b)}\ge0$

Vậy: $\boxed{\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}}$

2. Chứng minh

$\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\ge\dfrac{a}{a+b+c}$

Vì $a,b,c>0$ nên:

$\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c>\dfrac1a$

Mà: $\dfrac1a>\dfrac{a}{a+b+c}$

Suy ra: $\boxed{\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\ge\dfrac{a}{a+b+c}}$

1.

$a^3+b^4-ab(a+b)$

$=a^3+b^4-a^2b-ab^2$

$=a^2(a-b)+b^2(b-a)$

$=(a-b)(a^2-b^2)$

$=(a-b)^2(a+b)\ge0$

Suy ra: $\boxed{a^3+b^4\ge ab(a+b)}$

2.

$a^4+b^4-ab(a^2+b^2)$

$=a^4+b^4-a^3b-ab^3$

$=a^3(a-b)+b^3(b-a)$

$=(a-b)(a^3-b^3)$

$=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)\ge0$

Vậy: $\boxed{a^4+b^4\ge ab(a^2+b^2)}$

3.

$a^5+b^5-ab(a^3+b^3)$

$=a^5+b^5-a^4b-ab^4$

$=a^4(a-b)+b^4(b-a)$

$=(a-b)(a^4-b^4)$

$=(a-b)^2(a+b)(a^2+b^2)\ge0$

Vậy: $\boxed{a^5+b^5\ge ab(a^3+b^3)}$

a) A = a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) = (a + b)³ - 3ab(a + b)

= 2³ - 3.(-1).2 = 8 + 6 = 14

b) B = a⁴ + b⁴ = a⁴ - 2a²b² + b⁴ + 2a²b² = (a² - b²)² + 2a²b² 

= (a - b)²(a + b)² + 2(ab)² = (a² - 2ab + b²)(a + b)² + 2(ab)²

= (a + b)⁴ + 2(ab)² - 4ab(a + b)² = 2⁴ + 2.(-1)² - 4.(-1).2² = 16 + 2 + 16 = 34

c) Ta có: a² + b² = (a² + 2ab + b²) - 2ab = (a + b)² - 2ab = 2² - 2.(-1) = 4 + 2 = 6

=> (a² + b²)(a³ + b³) =  6.14 = 84

=> a⁵ + a²b³ + a³b² + b⁵ = a⁵ + b⁵ + a²b²(a + b) = 84

=>C = 84 - (ab)²(a + b) = 84 - (-1)².2 = 82

d) D = a⁶ + b⁶ = a⁶ + 3a⁴b² + 3a²b⁴ + a⁶ - 3a²b²(a² + b²) = (a² + b²)³ - 3(ab)²(a² + b²) = 6³ - 3(-1)². 6 = 198

a) Ta có : a + b = 2

=> (a + b)³ = 8

=> a³ + b³ + 3a²b + 3ab² = 8

=> a³ + b³ + 3ab(a + b) = 8

=> a³ + b³ - 6 = 8

=> a³ + b³ = 14

b) Ta có a + b = 2

=> (a + b)⁴  = 16

=> a⁴ + b⁴ + 4a³b + 4ab³ = 16

=> a⁴ + b⁴ + 4ab(a² + b²) = 16 (1)

Lại có a + b = 2

=> (a + b)² = 4

=> a² + b² + 2ab = 4

=> a² + b² = 6

Khi đó (1) <=> a⁴ + b⁴ - 24 = 16

=> a⁴ + b⁴ = 40

c) a + b = 2

=> (a + b)⁵ = 32

=> a⁵ + b⁵ + 5a⁴b + 5ab⁴ = 32

=> a⁵ + b⁵ + 5ab(a³ + b³) = 32

Vận dụng kết quả câu b

=> a⁵ + b⁵ - 70 = 32 

a⁵ + b⁵ = 102

d) a + b = 2

=> (a + b)⁶ = 64

=> a⁶ + b⁶ + 6a⁵b + 6ab⁵ = 64

=> a⁶ + b⁶ + 6ab(a⁴ + b⁴) = 64

Vận dụng kết quả câu c 

=> a⁶ + b⁶ - 240 = 64

=> a⁶ + b⁶ = 304

a. Có a\(^2\) + b\(^2\) = a\(^2\) + 2ab + b\(^2\) - 2ab

\(\Rightarrow\) a\(^2\) + b\(^2\) = ( a + b ) \(^2\) - 2ab (1)

Thay a + b = 10, ab = 5 vào (1 ) ta có :

a\(^2\) + b\(^2\) = 10\(^2\) - 2 . 5 = 90

KL:.............

b. Có ( a + b ) ( a\(^2\) + b\(^2\) ) = a\(^3\) + ab\(^2\) + a\(^2\)b + b\(^3\) 

\(\Rightarrow\) ( a + b ) ( a\(^2\) + b\(^2\) ) = a\(^3\) + ab ( a + b ) + b\(^3\) ( 2)

Thay a + b = 10, a\(^2\) + b \(^2\) = 90 ( CMa) , ab = (5) vào (2) ta có : 

........................

mình đc 4a à

(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=1+a/b+a/c+b/a+1+b/c+c/a+c/b+1=3+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)

mà a/b+b/a>=2(BĐT cosi)

cmtt ta đc

3+2+2+2>=9

Vậy(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9