Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
theo bất đẳng thức côsi ta có :
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4bc\)
\(\left(c+a\right)^2\ge4ca\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2\ge64a^2b^2c^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Lời giải:
a)
Xét hiệu \(\frac{a^3}{b}-(a^2+ab-b^2)=(\frac{a^3}{b}-a^2)-(ab-b^2)\)
\(=\frac{a^3-a^2b}{b}-b(a-b)=\frac{a^2(a-b)}{b}-b(a-b)=(a-b)\left(\frac{a^2}{b}-b\right)\)
\(=(a-b).\frac{a^2-b^2}{b}=\frac{(a-b)^2(a+b)}{b}\geq 0, \forall a,b>0\)
Do đó \(\frac{a^3}{b}\geq a^2+ab-b^2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$
b)
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương:
\(\frac{a^3}{b}+ab\geq 2a^2\)
\(\frac{b^3}{c}+bc\geq 2b^2\)
\(\frac{c^3}{a}+ac\geq 2c^2\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ac)\)
Mà cũng theo BĐT Cauchy:
\(a^2+b^2+c^2=\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}\geq \frac{2ab}{2}+\frac{2bc}{2}+\frac{2ca}{2}=ab+bc+ca\)
\( \Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ac)\geq 2(ab+bc+ac)-(ab+bc+ac)=ab+bc+ac\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
a) Đơn giản, tự chứng minh
b) Cách 1: Áp dụng BĐT câu a: \(VT\ge\left(a^2+ab-b^2\right)+\left(b^2+bc-c^2\right)+\left(c^2+ca-a^2\right)=ab+bc+ca=VP\)(đpcm)
Cách 2:
Ta chứng minh BĐT chặt hơn: \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\) (vì \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\))
Giả sử \(b=min\left\{a,b,c\right\}\).Bằng phương pháp B-W (Buffalo way) ta phân tích được:
\(VT-VP=\frac{\left(4a^2c+4abc-b^3+3b^2c-bc^2\right)\left(a-b\right)^2+b\left(b^2+bc+c^2\right)\left(a+b-2c\right)^2}{4abc}\ge0\)
P/s: Cách 2 tuy dài nhưng rất hay vì đây là phân tích bằng tay (không cần dùng phần mềm)!
1) Theo bđt AM-GM,ta có: \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=a\)
Suy ra \(\frac{a^2}{b+c}\ge a-\frac{b+c}{4}\)
Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế ta có đpcm
4/\(\frac{a^2}{b}+b\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b}.b}=2a\Rightarrow\frac{a^2}{b}\ge2a-b\)
Thiết lập 2 BĐT còn lai5n tương tự,cộng theo vế ta có đpcm.
3/Theo BĐT AM-GM,ta có: \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\Rightarrow\frac{ab}{a+b}\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b\right)}=\frac{a+b}{4}\)
Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế ta có đpcm
1) Sử dụng bđt Bunhiacopxki dạng phân thức :
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\left(đpcm\right)\)
2) Sử dụng bđt AM-GM cho 2 số thực dương :
\(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2\sqrt{\frac{bcac}{ab}}=2\sqrt{c^2}=2c\)
\(\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{acab}{bc}}=2\sqrt{a^2}=2a\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{abbc}{ca}}=2\sqrt{b^2}=2b\)
Cộng theo vế các bđt cùng chiều :
\(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}+\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2a+2b+2c\)
\(< =>2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(< =>\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\left(đpcm\right)\)
3) Sử dụng bđt AM-GM cho 2 số thực dương :
\(a+b\ge2\sqrt{ab};b+c\ge2\sqrt{bc};c+a\ge2\sqrt{ca}\)
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành :
\(\frac{ab}{2\sqrt{ab}}+\frac{bc}{2\sqrt{bc}}+\frac{ca}{2\sqrt{ca}}\le\frac{a+b+c}{2}\)
\(< =>\frac{\sqrt{ab}}{2}+\frac{\sqrt{bc}}{2}+\frac{\sqrt{ca}}{2}\le\frac{a+b+c}{2}\)
\(< =>\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le a+b+c\)
Đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)Thì bđt trên tương đương với :
\(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)(*)
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được bđt (*) đúng , thật vậy :
Tiếp tục sử dụng bđt AM-GM cho 2 số :
\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\)
\(y^2+z^2\ge2\sqrt{y^2z^2}=2yz\)
\(z^2+x^2\ge2\sqrt{z^2x^2}=2zx\)
Cộng theo vế các bđt cùng chiều trên ta được
\(x^2+y^2+z^2+x^2+y^2+z^2\ge2xy+2yz+2zx\)
\(< =>2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(< =>xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\left(đpcm\right)\)
4) Sử dụng bđt Bunhiacopxki dạng phân thức :
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\left(đpcm\right)\)
p/s : mình chỉ thêm muối thôi
@Arcobale_new : QUÁ DÀI DÒNG!