Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại điểm H, đường thẳng EF
cắt BC tại S. Gọi M là trung điểm của BC, đường thẳng qua M vuông góc với AC cắt
đường thẳng qua C vuông góc với BC tại điểm P.
1. Chứng minh: SM.SD = SB.SC.
2. Chứng minh: SP vuông góc với AM.
3. Chứng minh: S, H, P thẳng hàng.
 

Cho hình thoi 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴መ > 90௢). Gọi 𝐸 là hình chiếu vuông góc của 𝐴 trên 𝐵𝐶, 𝐹 là hình
chiếu vuông góc của 𝐶 trên 𝐴𝐷.
a) Tứ giác 𝐴𝐸𝐶𝐹 là hình gì? Vì sao?
b) 𝐵𝐷 cắt 𝐴𝐸 tại 𝐻, cắt 𝐶𝐹 tại 𝐾. Chứng minh rằng 𝐴𝐾 = 𝐶𝐻.
c) Gọi 𝐼 là giao điểm của 𝐴𝐾 và 𝐶𝐷, 𝐽 là giao điểm của 𝐶𝐻 và 𝐴𝐵. Chứng minh rằng 𝐸𝐼 ⊥ 𝐸𝐽
 

Cho hình thoi 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴መ > 90௢). Gọi 𝐸 là hình chiếu vuông góc của 𝐴 trên 𝐵𝐶, 𝐹 là hình
chiếu vuông góc của 𝐶 trên 𝐴𝐷.
a) Tứ giác 𝐴𝐸𝐶𝐹 là hình gì? Vì sao?
b) 𝐵𝐷 cắt 𝐴𝐸 tại 𝐻, cắt 𝐶𝐹 tại 𝐾. Chứng minh rằng 𝐴𝐾 = 𝐶𝐻.
c) Gọi 𝐼 là giao điểm của 𝐴𝐾 và 𝐶𝐷, 𝐽 là giao điểm của 𝐶𝐻 và 𝐴𝐵. Chứng minh rằng 𝐸𝐼 ⊥ 𝐸𝐽
 

Cho ABC có AD là phân giác. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và C
trên tia AD.
a) Chứng minh ABH đồng dạng với ACK; BDH đồng dạng với CDK.
b) Chứng minh AH.DK AK.DH 
c) Tính độ dài AH biết BD 4cm,  CD 6cm,  AK 12cm.
 

Cho tam giác ABC có AB=AC và điểm K bất kì nằm giữa hai điểm A và B . Từ K vẽ đường
thẳng song song AC cắt BC tại E . Gọi M là trung điểm của EC .
a) Chứng minh KB=KE 
b) Đường thẳng KM cắt đường thẳng AC tại N . Chứng minh: KC//EN  và KB=NC  .
c) Chứng minh AK+AN không đổi khi K thay đổi.

Cho tam giác đều ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác, AD là đường cao. Trên
cạnh BC lấy điểm M. Từ M vẽ ME vuông góc với AB (E thuộc AB) và MF vuông góc với AC (F thuộc AC). Gọi I là
trung điểm của AM.
a) Chứng minh tứ giác DEIF là hình thoi.
b) Chứng minh các đường thẳng MH, ID, EF đồng quy
 

Cho tứ giác ABCD có các đường thẳng AD, BC cắt nhau tại I. M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Đường thẳng MN cắt các đường thẳng AD, BC lần lượt tại E, F. Cho biết IE IF   0. Chứng minh:
AD BC  .
 

Cho bảng vuông kích thước 25.25. Mỗi ô trong bảng vuông được điền một trong hai
loại số 1 hoặc -1. Đặt ai là tích của tất cả các số ở dòng thứ i (i =1,2,...,25) và bj là tích của
tất cả các số ở cột thứ j (j =1,2,...,25). Chứng minh rằng a1+...+a25 +b1 +...+ b25 khác 0.

Bài 1 Cho số thực x thỏa mãn \(x^3-x=2\) : Tính giá trị của \(P=\left(x^5+x^4-2x^3-3x^2-x+1\right)2018\)

Bài 2 Tìm các sôd thực a; b để đa thức \(P\left(x\right)=x^3+ax^2+bx+4\) chia hết cho đa thức \(\left(x-2\right)^2\)
 

Bài 3: Cho hình thang ABCD (AB // CD) các tia phân giác góc ngoài đỉnh A và D
cắt nhau tại H. Tia phân giác góc ngoài đỉnh B và C cắt nhau ở K. Chứng minh rằng:
a) AH ⊥ DH ; BK ⊥ CK
b) HK // DC
c) Tính độ dài HK biết AB = a; CD = b; AD = c; BC = d