Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
\(4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2=(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2\)
\(=(2ab-a^2-b^2+c^2)(2ab+a^2+b^2-c^2)\)
\(=[c^2-(a-b)^2][(a+b)^2-c^2]\)
\(=(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)\)
Vì $a,b,c$ là 3 cạnh của tam giác nên:
\(\left\{\begin{matrix} c-a+b>0\\ c+a-b>0\\ a+b-c>0\\ a+b+c>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow 4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2=(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)>0\)
Ta có đpcm.
Lời giải:
$A=4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2=(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2$
$=(2ab-a^2-b^2+c^2)(2ab+a^2+b^2-c^2)$
$=[c^2-(a^2+b^2-2ab)][(a^2+b^2+2ab)-c^2]$
$=[c^2-(a-b)^2][(a+b)^2-c^2]$
$=(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)$
Vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên theo BĐT tam giác thì $c-a+b; c+a-b; a+b-c>0$
Mặt khác $a+b+c>0$ với mọi $a,b,c>0$
Do đó $A>0$ (đpcm)
Ta có a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác (gt)
⇒ a + b > c (bất đẳng thức tam giác) ⇒ a + b - c > 0
và a + c > b (bất đẳng thức tam giác) ⇒ c + a - b > 0
và b + c > a (bất đẳng thức tam giác) ⇒ c - a + b > 0
Theo đề bài ta có:
A = 4a2b2 - (a2 + b2 - c2)2
= (2ab)2 - (a2 + b2 - c2)2
= (2ab + a2 + b2 - c2)(2ab - a2 - b2 + c2)
= [(a + b)2 - c2][c2 - (a2 - 2ab + b2)]
= (a + b + c)(a + b - c)[c2 -(a - b)2]
= (a + b + c)(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)
Mà a + b + c > 0 (chu vi tam giác); a + b - c > 0 (cmt); c + a - b > 0 (cmt); c - a + b > 0 (cmt)
⇒ (a + b + c)(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b) > 0
⇒ A > 0
\(A=4a^2b^2-\left(a^2+b^2-c^2\right)^2\)
\(=4a^2b^2-\left(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2\right)\)
\(=4a^2b^2-a^4-b^4-c^4-2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\)
\(=2a^2b^2-a^4-b^4-c^4+2b^2c^2+2c^2a^2\)
\(=-a^4+2a^2b^2-b^4-c^4+2b^2c^2+2c^2a^2\)
\(=-\left(a^2-b^2\right)^2-c^2\left(c^2-2b^2-2a^2\right)>0\)
Vậy A > 0
Vì a,b,c là ba cạnh của tam giác nên \(\hept{\begin{cases}a+b>c\\b+c>a\\c+a>b\end{cases}}\)
hay \(\hept{\begin{cases}a+b-c>0\\b+c-a>0\\c+a-b>0\end{cases}}\)(1)
Ta có: \(A=4a^2b^2-\left(a^2+b^2-c^2\right)^2\)
\(=\left(2ab\right)^2-\left(a^2+b^2-c^2\right)^2\)
\(=\left(2ab+a^2+b^2-c^2\right)\left(2ab-a^2-b^2+c^2\right)\)
\(=\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]\left[c^2-\left(a-b\right)^2\right]\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(c+a-b\right)\left(b+c-a\right)\)
Vì a + b + c > 0 ( Vì a,b,c là ba cạnh của tam giác kết hợp với (1) thì:
\(\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(c+a-b\right)\left(b+c-a\right)>0\)
hay A > 0 (đpcm)