Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a+b+c=2008;\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2008\)
\(\Rightarrow a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)\left(a+b+c\right)=abc\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)\left(a+b+c\right)-abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)\left(b+c\right)+a\left(ab+ac\right)+abc-abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)\left(b+c\right)+a^2\left(b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac+a^2\right)\left(b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[b\left(a+c\right)+a\left(a+c\right)\right]\left(b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)Hoặc a + b = 0 hoặc b + c = 0 hoặc a + c = 0
Vậy 1 trong 3 số bằng 2008 (đpcm)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=1\Rightarrow ab+bc+ca=abc\)\
Ta có: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
\(=ab+bc+ca-abc=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
Từ đây ta suy ra đpcm.
a) Chứng minh được BĐT \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)(*)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b
Áp dụng BĐT (*) vào bài toán ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{x+y+x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\\\frac{1}{x+2y+z}=\frac{1}{x+y+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\\\frac{1}{x+y+2z}=\frac{1}{x+y+z+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\cdot2\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\)
Tiếp tục áp dụng BĐT (*) ta có:
\(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right);\frac{1}{y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right);\frac{1}{z+x}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\cdot2\cdot\frac{1}{4}\cdot2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=1\)
\(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{3}{4}\)
b) áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\\\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{b+c-a+a+c-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\\\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{a+b-c+a+c-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\end{cases}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT ta có:
\(2VT\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=2VP\)
\(\Rightarrow VT\ge VP\)
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của Nguyễn Bùi Đại Hiệp - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
Câu hỏi của 『-Lady-』 - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Tham khảo ở link trên nha
Từ \(a+b+c>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Leftrightarrow a+b+c>\frac{ab+bc+ac}{abc}=ab+bc+ac..\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ac>0\Leftrightarrow\left(abc-1\right)+a+b+c-ab-ac-bc>0\)
\(\Leftrightarrow\left(abc-ab\right)+\left(c-1\right)+\left(a-ac\right)+\left(b-bc\right)>0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(c-1\right) +\left(c-1\right)-a\left(c-1\right)-b\left(c-1\right)>0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-1\right)\left[\left(ab-a\right)+\left(1-b\right)\right]>0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-1\right)\left[a\left(b-1\right)-\left(b-1\right)\right]>0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)>0\)
Ta xảy ra 2 trường hợp:
Trường hợp 1: Trong 3 nhân tử (a-1), (b-1), (c-1) có 2 nhân tử nhỏ hơn 0, một nhân tử lớn hơn 0
=> Trong 3 số a, b, c có 2 số nhỏ hơn 1 , một số lớn hơn 1 (1)
Trường hợp 2: 3 nhân tử (a-1), (b-1), (c-1) đều lớn hơn 0
=> 3 số a, b,c lớn hơn 1 (2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
Bài làm
\(a+b+c\)\(=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=\frac{ab+bc+ca}{abc}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca=0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca+abc-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-ac\right)+\left(b-bc\right)+\left(-ab+abc\right)+\left(c+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow-a\left(c-1\right)-b\left(c-1\right)+ab\left(c-1\right)+\left(c-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(-a-b+ab+1\right)\left(c-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[b\left(a-1\right)-\left(a-1\right)\right]\left(c-1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(b-1\right)\left(a-1\right)\left(c-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-1=0\\b-1=0\\c-1=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\\c=1\end{cases}}\)(đpcm)
Bạn Thiên thần nhỏ ơi, bạn không đọc đề à?
Đề bài là a+b+c>1/a+1/b+1/c , sao bạn lại đổi dấu thành dấu '='
Với lại người ta bắt chứng minh trong ba số a,b,c có một số lớn hơn 1 mà tại sao lại chứng minh ba số đó bằng 1
Thắc mắc tại sao lại có 2 ti ck đúng, có phải bạn gian lận điểm hỏi đáp?
Nói túm lại là cả bài của bạn sai hết trơn rồi
Tiện thì nói luôn cho bạn , sai thì sai từ đầu nhưng càng làm càng sai
Từ chỗ \(\left(b-1\right)\left(a-1\right)\left(c-1\right)=0,\)sao lại tương đương với
\(\hept{\begin{cases}a-1=0\\b-1=0\\c-1=0\end{cases}}\), chỗ này phải đổi thành ngoặc vuông mới đúng bạn ạ.
Mình coi qua câu hỏi tương tự thấy có bài tương tự nhưng đề là \(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Nên mình cá bạn đã search qua bài làm của các bạn trong câu hỏi đó, lần sau nếu có dựa để tham khảo thì nên coi kĩ lại chút đi ạ.
Đề nó khác lắm đó bạn