Câu hỏi của Minz Ank

Question

Cho a,b,c > 0 , a + b + c = 1. Tìm Min P = $\dfrac{3}{ab+bc+ca}+\dfrac{5}{a^2+b^2+c^2}$

Akai Haruma · Accepted Answer

Lời giải:
$P=\frac{3}{ab+bc+ac}+\frac{5}{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)}=\frac{3}{ab+bc+ac}+\frac{5}{1-2(ab+bc+ac)}$

$=\frac{3}{x}+\frac{5}{1-2x}$ với $x=ab+bc+ac$

Theo BĐT AM-GM:
$1=(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$

$\Rightarrow x=ab+bc+ac\leq \frac{1}{3}$

Vậy ta cần tìm min $P=\frac{3}{x}+\frac{5}{1-2x}$ với $0< x\leq \frac{1}{3}$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(\frac{3}{x}+\frac{5}{1-2x})[2x+(1-2x)]\geq (\sqrt{6}+\sqrt{5})^2$

$\Leftrightarrow P\geq (\sqrt{6}+\sqrt{5})^2=11+2\sqrt{30}$

Vậy $P_{\min}=11+2\sqrt{30}$

Giá trị này đạt tại $x=3-\sqrt{\frac{15}{2}}$

Câu trả lời: