Câu hỏi của Hoàng Thị Thu Hà

Question

Cho a,b > 0 thỏa mãn a²+b²=4. Tìm GTLN của $A=\frac{ab}{a+b+2}$

Thắng Nguyễn · Accepted Answer

Từ $a^2+b^2=4\Rightarrow\left(a+b\right)^2-2ab=4\Rightarrow2ab=\left(a+b\right)^2-4$

Ta có: $2A=\frac{2ab}{a+b+2}=\frac{\left(a+b\right)^2-4}{a+b+2}=a+b-2$

$\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}-2=2\sqrt{2}-2$

$\Rightarrow2M\le2\sqrt{2}-2\Rightarrow M\le\sqrt{2}-1$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=\sqrt{2}$

Câu trả lời:

Từ $a^2+b^2=4\Rightarrow\left(a+b\right)^2-2ab=4\Rightarrow2ab=\left(a+b\right)^2-4$

Ta có: $2A=\frac{2ab}{a+b+2}=\frac{\left(a+b\right)^2-4}{a+b+2}=a+b-2$

$\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}-2=2\sqrt{2}-2$

$\Rightarrow2M\le2\sqrt{2}-2\Rightarrow M\le\sqrt{2}-1$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=\sqrt{2}$