Ta có : \(a^3+b^3+c^3-3abc=0\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab-bc-ac\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]=0\)

Vì \(a+b+c\ne0\)nên \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\Rightarrow a=b=c\)

Thay a = b = c vào biểu thức cần tính.

Tại sao lại phải lấy \(\frac{a+b+c}{2}\)\(mik\)\(k\)\(hỉu\)

giúp vsssssssssss

https://vn.answers.yahoo.com/question/index?qid=20110907041853AA9iaBQ

Ta có : \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-c\right)\)

Do : \(a^3+b^3+c^3=3abc\) và \(a+b+c\ne0\) nên \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)

Dễ dàng suy ra \(a=b=c\).Vậy \(N=\frac{3a^2}{\left(3a\right)^2}=\frac{1}{3}.\)

Mẫu của N phải là (a+b+c)^2013 chứ bạn

Đk để phân số tồn tại là : a+b+c khác 0

a^3+b^3+c^3=abc

<=> a^3+b^3+c^3-3abc = 0

<=> (a+b+c).(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = 0

<=> a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = 0 ( vì a+b+c khác 0 )

<=> 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca = 0

<=> (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2) = 0

<=> (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 = 0

<=> a-b=0 ; b-c=0 ; c-a=0

<=> a=b=c

Khi đó : N = 3a^2013/(3a)^2013 = 3/3^2013 = 1/3^2012

Tk mk nha

Ta có :

\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)

Mà \(a+b+c\ne0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a=b=c\)

\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{3a^2}{\left(3a\right)^2}=\frac{3a^2}{9a^2}=\frac{1}{3}\)

A=1/2 nhé , lấy ví dụ ra là được 

từ pt trên bạn pt đa thức thành nhân tử được (a+b+c)(a^2-ab+b^2-ac-bc+c^2)=0 

mà a+b+c khác 0 nên a^2-ab+b^2-ac-bc+c^2=0

2(a^2-ab+b^2-ac-bc+c^2)=0

(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0

suy ra a=b=c 

suy ra A=1/3 

\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)(vì \(a+b+c\ne0\))

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)

\(N=\frac{a^2+b^2+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{1}{3}\)

Câu 1:

• Chứng minh a³+b³+c³=3abc thì a+b+c=0

\(a^3+b^3+c^3=3abc\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3-3a^2b-3ab^2+c^3-3abc=0\)

\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)^3+c^3\right]-3abc\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Rightarrow0=0\) Đúng (Đpcm)

• Chứng minh a³+b³+c³=3abc thì a=b=c

​Áp dụng Bđt Cô si 3 số ta có:

\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)

Dấu = khi a=b=c (Đpcm)

Câu 2

Từ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=3\cdot\frac{1}{abc}\)

Ta có:

\(\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}=\frac{abc}{c^3}+\frac{abc}{a^3}+\frac{abc}{b^3}\)

\(=abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\)

\(=abc\cdot3\cdot\frac{1}{abc}=3\)

\(\left\{{}\begin{matrix}a^3+b^3+c^3=3abc\\a+b+c\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-\left(ab+bc+ca\right)=0\)

\(P=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}{\left(a+b+c\right)^6}=\left[\dfrac{a^2+b^2+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}\right]^3=\left[\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)}{3\left(ab+bc+ca\right)}\right]^3=\dfrac{1}{27}\)

đáp án : 1