Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xl bài mk sai cái chỗ áp dụng
Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{n+1}{n}=\frac{\left(n+1\right)\left(n+1\right)}{n\left(n+1\right)}=\frac{\left(n+1\right)^2}{n^2+n}=\frac{n^2+2.n.1+1^2}{n^2+n}=\frac{n^2+2n+1}{n^2+n}\\\frac{n+2}{n+1}=\frac{n\left(n+2\right)}{n\left(n+1\right)}=\frac{n^2+2n}{n^2+n}\end{matrix}\right.\)
Mà \(n^2+2n+1>n^2+n\forall\)n dương
\(\Rightarrow\frac{n+1}{n}>\frac{n+2}{n+1}\)
P/ s Đây là ý kiến riêng thôi nha
Nếu còn j thắc mắc thì ib cho mình nhé
Ta có
A\(^2\) = \(\left(\frac{2}{1}.\frac{4}{3}.....\frac{200}{199}\right)^2=\left(\frac{2}{1}.\frac{4}{3}.....\frac{200}{199}\right).\left(\frac{2}{1}.\frac{4}{3}.....\frac{200}{199}\right)\)
\(\Rightarrow A^2 >\left(\frac{2}{1}.\frac{4}{3}...\frac{200}{199}\right).\left(\frac{3}{2}.\frac{5}{4}...\frac{201}{200}\right)\)
( Áp dụng tính chất \(\frac{n+1}{n}>\frac{n+3}{n+1}\forall\)n dương )
\(\Rightarrow A^2>201>196=14^2\)
\(\Rightarrow A>14\left(2\right)\)
Lại có :
\(A^2=\left(\frac{2}{1}.\frac{4}{3}....\frac{200}{199}\right).\left(\frac{2}{1}.\frac{4}{3}....\frac{200}{199}\right)\)
\(\Rightarrow A^2< 2.\left(\frac{2}{1}.\frac{4}{3}...\frac{200}{199}\right).\left(\frac{3}{2}.\frac{5}{4}...\frac{199}{198}\right)\)
\(\Rightarrow A^2< 2.200=400=20^2\)
\(\Rightarrow A< 20\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => 14 < A < 20
Bài mình còn sai sót đôi chỗ ko biết bạn có hiểu ko ạ
- So sánh từng thừa số:
Ta có nhận xét: Với mọi số nguyên dương \(n\), luôn có \(\frac{n}{n+1} < \frac{n+1}{n+2}\).
Áp dụng vào biểu thức \(A\) và \(B\):
Suy ra: \(A < B\) - \(\frac{1}{2} < \frac{2}{3}\)
- \(\frac{3}{4} < \frac{4}{5}\)
- ...
- \(\frac{199}{200} < \frac{200}{201}\)
- Tính tích \(A \cdot B\):
\(A\cdot B=\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\dots \frac{200}{201}\right)\)
Khi nhân lại, các số ở tử và mẫu sẽ triệt tiêu lẫn nhau:
\(A\cdot B=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\dots 199\cdot 200}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\dots 200\cdot 201}=\frac{1}{201}\) - Chứng minh \(A^2 < \frac{1}{101}\):
Vì \(A > 0\) và \(A < B\), nên:
\(A\cdot A<A\cdot B\)
\(A^{2}<\frac{1}{201}\)Mà \(\frac{1}{201} < \frac{1}{101}\), nên ta có:
\(A^{2}<\frac{1}{101}\text{\ (Điu\ phi\ chng\ minh)}\)
\(A^{2}=\left(\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\dots \frac{200}{199}\right)\cdot \left(\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\dots \frac{200}{199}\right)\)Ta có nhận xét với mọi \(n > 1\) thì \(\frac{n}{n-1} < \frac{n+1}{n}\). Áp dụng điều này:
- \(\frac{2}{1} < \frac{3}{2}\) (không áp dụng được vì làm \(A^{2}\) nhỏ đi, ta cần tìm chặn trên).
- Thay vào đó, ta sử dụng: \(\frac{n}{n-1} < \frac{n+1}{n}\) cho các thừa số của biểu thức thứ hai nhưng lùi lại một nhịp.
Dễ thấy \(\frac{2}{1} > \frac{3}{2}\), \(\frac{4}{3} > \frac{5}{4}, \dots, \frac{200}{199} > \frac{201}{200}\).
Do đó \(A > B\). Tuy nhiên, cách này dùng để chặn dưới.Để chặn trên, ta xét \(C = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \dots \frac{199}{198} \cdot 2\). Ta có \(A < C\).
Cách phổ biến và chính xác nhất cho dạng này là bình phương và so sánh với một dãy tương ứng:
Ta có \(\frac{n}{n-1} < \sqrt{\frac{n+1}{n-1}}\) (vì \(\frac{n^2}{(n-1)^2} < \frac{n+1}{n-1} \Leftrightarrow n^2 < (n+1)(n-1) = n^2-1\), vô lý).Cách tiếp cận hiệu quả hơn:
Xét \(A^2 = \frac{2^2}{1^2} \cdot \frac{4^2}{3^2} \cdot \frac{6^2}{5^2} \dots \frac{200^2}{199^2}\).
Ta có \(\frac{n^2}{(n-1)^2} < \frac{n^2}{n^2-n} = \frac{n}{n-1}\) (không giúp ích).
Sử dụng bất đẳng thức \(\frac{n}{n-1} < \frac{n+1}{n}\) là sai chiều.Thực tế, với \(n \ge 2\): \(\frac{n}{n-1} < \frac{n-1}{n-2}\) cũng sai.
Ta sử dụng: \(\frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \dots \frac{200}{199}\).
Đặt \(S = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \dots \frac{199}{200}\). Khi đó \(A = \frac{1}{S}\).
Ta biết \(\frac{1}{2\sqrt{n}} < S < \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\).
Với \(n=100\): \(S < \frac{1}{\sqrt{201}} \approx \frac{1}{14.17} \Rightarrow A > 14.17 > 14\).
Và \(S > \frac{1}{2\sqrt{100}} = \frac{1}{20} \Rightarrow A < 20\).2. Tổng kết
- Chặn trên:
Vì \(\frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{5} \dots \frac{200}{199} < 20\) tương đương với \(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \dots \frac{199}{200} > \frac{1}{20}\).
Điều này luôn đúng vì \(\frac{n-1}{n} > \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n}{n+1} \dots\) (Sử dụng \(S > \frac{1}{2\sqrt{n}}\)). Với \(n=100\), \(S > \frac{1}{20}\) là hiển nhiên. - Chặn dưới:
Sử dụng \(S < \frac{1}{\sqrt{3n+1}}\) hoặc đơn giản hơn là so sánh \(A\) với dãy lệch một đơn vị để thấy \(A^2 > 200\).
\(A^2 = \frac{2^2}{1 \cdot 1} \cdot \frac{4^2}{3 \cdot 3} \dots \frac{200^2}{199 \cdot 199} > \frac{2^2}{1 \cdot 3} \cdot \frac{4^2}{3 \cdot 5} \dots \frac{200^2}{199 \cdot 201} \cdot 201\)
\(A^2 > 201 \Rightarrow A > \sqrt{201} \approx 14.17\).
Ta có 1.4/2.3=(2-1)(3+1)/2.3=1-1/2+1/3-1/2.3
2.5/3.4=(3-1)(4+1)/3.4=1-1/3+1/4-1/3.4
...
Suy ra N=(1-1/2+1/3-1/2.3)+(1-1/3+1/4-1/3.4)+....+(1-1/99+1/100-1/99.100)
N=98+1/100−1/2−1/2.3−1/3.4−....−1/99.100
Xét P=1/2.3+1/3.4+....+1/99.100
P= 1/2−1/3+1/3−1/4+.....+1/99−1100
P=1/2−1/100
Vậy N=98-1+1/50
N=97+1/50
Vậy 97<N<98(ĐPCM)
https://lazi.vn/edu/exercise/289338/cho-b-2-1-x-4-3-x-6-5-x-8-x-x-200-199-chung-minh-rang-14-lt-b-lt-20
Em xem tại link này nhé (Chị gửi cho)
Học tốt
!!!!!!!!!