Đặt \(a=\dfrac{1}{x};b=\dfrac{1}{y};c=\dfrac{1}{z}\Rightarrow xyz=1\) và \(x;y;z>0\)

Gọi biểu thức cần tìm GTNN là P, ta có:

\(P=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x^3}\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{y^3}\left(\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}\right)}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{z^3}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)}\)

\(=\dfrac{x^3yz}{y+z}+\dfrac{y^3zx}{z+x}+\dfrac{z^3xy}{x+y}=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\)

\(P\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+z+x+x+y}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\dfrac{3}{2}\)

\(P_{min}=\dfrac{3}{2}\) khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)

Đặt \(a = \frac{1}{x} ; b = \frac{1}{y} ; c = \frac{1}{z} \Rightarrow x y z = 1\) và \(x ; y ; z > 0\)

Gọi biểu thức cần tìm GTNN là P, ta có:

\(P = \frac{1}{\frac{1}{x^{3}} \left(\right. \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \left.\right)} + \frac{1}{\frac{1}{y^{3}} \left(\right. \frac{1}{z} + \frac{1}{x} \left.\right)} + \frac{1}{\frac{1}{z^{3}} \left(\right. \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \left.\right)}\)

\(= \frac{x^{3} y z}{y + z} + \frac{y^{3} z x}{z + x} + \frac{z^{3} x y}{x + y} = \frac{x^{2}}{y + z} + \frac{y^{2}}{z + x} + \frac{z^{2}}{x + y}\)

\(P \geq \frac{\left(\left(\right. x + y + z \left.\right)\right)^{2}}{y + z + z + x + x + y} = \frac{x + y + z}{2} \geq \frac{3 \sqrt[3]{x y z}}{2} = \frac{3}{2}\)

\(P_{m i n} = \frac{3}{2}\) khi \(x = y = z = 1\) hay \(a = b = c = 1\)

a: Xét tứ giác ABEC có

M là trung điểm chung của AE và BC

=>ABEC là hình bình hành

b: Xét ΔBHF vuông tại H và ΔBHA vuông tại H có

BH chung

HF=HA

Do đó: ΔBHF=ΔBHA

=>BF=BA

mà BA=CE

nên BF=CE

a: Ta có: ABCD là hình vuông

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của BD

nên O là trung điểm của AC

Ta có; OM⊥BC

DC⊥BC

Do đó: OM//DC
Ta có: ON⊥DC

BC⊥DC

Do đó: ON//BC

Xét tứ giác OMCN có

OM//CN

ON//CM

Do đó: OMCN là hình bình hành

b: Xét ΔBDC có

O là trung điểm của BD

OM//CD

Do đó: M là trung điểm của BC

Xét ΔBDC có

O là trung điểm của BD

ON//BC

Do đó: N là trung điểm của DC

Ta có: MONC là hình chữ nhật

=>MO=NC

mà NC=ND

nên MO=ND

Xét tứ giác MODN có

MO//DN

MO=DN

Do đó: MODN là hình bình hành

c: Xét tứ giác ODTC có

N là trung điểm chung của OT và DC

=>ODTC là hình bình hành

d: Xét tứ giác BOCS có

M là trung điểm chung của BC và OS

=>BOCS là hình bình hành

=>CO//BS và CO=BS

ODTC là hình bình hành

=>OC//DT và OC=DT

OC//BS

OC//DT

Do đó: BS//DT

ta có: OC=BS

OC=DT

Do đó: BS=DT

Xét tứ giác BSTD có

BS//TD

BS=TD

Do đó: BSTD là hình bình hành

e: OMCN là hình bình hành

=>OC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm của OC và MN

Ta có: ON=CM

mà OT=2ON(N là trung điểm của OT)

và BC=2CM(M là trung điểm của BC)

nên OT=BC

Xét tứ giác BOTC có

BC//TO

BC=TO

Do đó: BOTC là hình bình hành

=>BT cắt OC tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của OC

nên I là trung điểm của BT

=>B,I,T thẳng hàng

xét tứ giác AEHF ta có:

góc BAC = góc HEA = góc HFA = 90 độ

⇒ tứ giác AEHF là hình chữ nhật

thực hiện phép tính chia

\(a.\left(8x^4y^2-2x^3y^2+3x^2y^3\right):\left(2xy^2\right)\) (điều kiện: \(x;y\ne0)\)

\(=4x^3-x^2+\frac32xy\)

\(b.\left(-6x^3+5x^2y+4xy^2\right):\left(\frac14x\right)\) (điều kiện: \(x\ne0)\)

\(=-24x^2+20xy+16y^2\)

\(c.\left\lbrack7\cdot\left(y-x\right)^5+6\left(y-x\right)^4-2\left(x-y\right)^3+\left(y-x\right)^2\right\rbrack:\left(x-y\right)^2\) (điều kiện: \(x\ne y)\)

\(=7\left(y-x\right)^3+6\left(y-x\right)^2+2\left(y-x\right)+1\)

\(d.M\cdot\frac13xy^2=5x^4y^3-3x^3y^2+12x^2y\)

\(\Rightarrow M=\left(5x^4y^3-3x^3y^2+12x^2y\right):\left(\frac13xy^2\right)\)

\(M=15x^3y-9x^2+\frac{36x}{y}\)

\(e.\left(-6x^5y^3\right):M=2x^2y\)

\(\Rightarrow M=\left(-6x^5y^3\right):\left(2x^2y\right)\)

\(M=-3x^3y^2\)

\(\left(21x^7y^6-15x^6y^4+9x^4y^3\right):M\) (*)

thay M vào (*) ta được:

\(\left(21x^7y^6-15x^6y^4+9x^4y^3\right):\left(-3x^3y^2\right)\)

\(=-7x^4y^4+5x^3y^2-3xy\)

a: ta có: EI⊥BF

AC⊥BF

Do đó: EI//AC

=>\(\hat{IEB}=\hat{ACB}\) (hai góc đồng vị)

mà \(\hat{ABC}=\hat{ACB}\) (ΔABC cân tại A)

nên \(\hat{KBE}=\hat{IEB}\)

Xét ΔKBE vuông tại K và ΔIEB vuông tại I có

BE chung

\(\hat{KBE}=\hat{IEB}\)

Do đó: ΔKBE=ΔIEB

=>EK=BI

b: Điểm D ở đâu vậy bạn?

\({x^2} = {4^2} + {2^2} = 20 \Rightarrow x = 2\sqrt 5 \)

\({y^2} = {5^2} - {4^2} = 9 \Leftrightarrow y = 3\)

\({z^2} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} + {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2} = 25 \Rightarrow z = 5\)

\({t^2} = {1^2} + {2^2} = 5 \Rightarrow t = \sqrt 5 \)

Bài 4:

AB//CD

=>\(\hat{BAK}=\hat{AKD}\) (hai góc so le trong)

mà \(\hat{BAK}=\hat{DAK}\) (AK là phân giác của góc BAD)

nên \(\hat{DAK}=\hat{DKA}\)

=>DA=DK

Ta có: DK+KC=DC

DA+BC=DC

mà DK=DA

nên CK=CB

=>ΔCKB cân tại C

=>\(\hat{CKB}=\hat{CBK}\)

mà \(\hat{CKB}=\hat{ABK}\) (hai góc so le trong, AB//CD)

nên \(\hat{ABK}=\hat{CBK}\)

=>BK là phân giác của góc ABC

Bài 2:

a: Xét ΔDAB có

K,E lần lượt là trung điểm của DA,DB

=>KE là đường trung bình của ΔDAB

=>KE//AB và \(KE=\frac{AB}{2}\)

Xét ΔCAB có

F,G lần lượt là trung điểm của CA,CB

Do đó: FG là đường trung bình của ΔCAB

=>FG//AB và \(FG=\frac{AB}{2}\)

Xét hình thang ABCD có

K,G lần lượt là trung điểm của AD,BC

=>KG là đường trung bình của hình thang ABCD

=>KG//AB//CD và \(KG=\frac12\left(AB+CD\right)\)

Ta có: FG//AB

KG//AB

FG,KG có điểm chung là G

Do đó: F,G,K thẳng hàng(1)

ta có: KE//AB

KG//AB

KE,KG có điểm chung là K

Do đó: K,E,G thẳng hàng(2)

Từ (1),(2) suy ra K,E,F,G thẳng hàng

b: Ta có: KE+EF+FG=KG

=>\(EF+\frac12AB+\frac12AB=\frac12\left(CD+AB\right)\)

=>\(EF=\frac12\left(CD+AB-2AB\right)=\frac12\left(CD-AB\right)\)

Bài 9:

Nửa chu vi mảnh đất là 34:2=17(m)

Gọi chiều rộng mảnh đất là x(m)

(ĐIều kiện: 0<x<17/2)

Chiều dài mảnh đất là 17-x(m)

Chiều rộng mảnh đất sau khi thêm 2m là x+2(m)

Chiều dài mảnh đất sau khi thêm 3m là 17-x+3=20-x(m)

Diện tích tăng thêm \(45m^2\) nên ta có:

\(\left(x+2\right)\left(20-x\right)-x\left(17-x\right)=45\)

=>\(20x-x^2+40-2x-17x+x^2=45\)

=>x+40=45

=>x=5(nhận)

vậy: Chiều rộng là 5m

Chiều dài là 17-5=12m

Bài 8:

Gọi thời gian ô tô đi trên đoạn đường AB là x(giờ)

(Điều kiện: x>0)

Thời gian ô tô đi trên đoạn đường BC là x+0,5(giờ)

Độ dài quãng đường AB là 50x(km)

Độ dài quãng đường BC là 45(x+0,5)(km)

Tổng độ dài hai quãng đường là 165km nên ta có:

50x+45(x+0,5)=165

=>50x+45x+22,5=165

=>95x=142,5

=>x=1,5(nhận)

vậy: thời gian ô tô đi trên đoạn đường AB là 1,5(giờ)

thời gian ô tô đi trên đoạn đường BC là 1,5+0,5=2(giờ)