Ta có thể viết ( A ) dưới dạng sau:
[
A = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{49} - \frac{1}{50} \right)
]

Tính từng cặp

Mỗi cặp có dạng:
[
\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}
]
Vì vậy, ta có:
[
A = \sum_{k=1}^{25} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k} \right)
]
hoặc viết lại bằng cặp:
[
A = \sum_{k=1}^{25} \frac{1}{2k-1} - \sum_{k=1}^{25} \frac{1}{2k}
]

Tính giá trị A

• 
  
• Tính tổng ( \sum_{k=1}^{25} \frac{1}{2k-1} ): đây là tổng các số hạng lẻ từ 1 đến 49.
• 
  
• Tính tổng ( \sum_{k=1}^{25} \frac{1}{2k} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{25} \frac{1}{k} ).
• 
  

Ước lượng số hạng

Giá trị ( \sum_{k=1}^{25} \frac{1}{k} ) gần xấp xỉ ( \ln(25) + \gamma ) (với ( \gamma ) là hằng số Euler-Mascheroni), xấp xỉ 3.69.
Vì vậy:
[
\sum_{k=1}^{25} \frac{1}{2k} \approx \frac{1}{2} (3.69) \approx 1.845
]
Tổng các số hạng lẻ lại xấp xỉ hơn 3.

Thiết lập bất đẳng thức

Ta có:
[
A \approx \sum_{k=1}^{25} \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2}(3.69)
]
Bằng cách tính sẽ ra được giới hạn trên và dưới cho ( A ):

• 
  
• Khi tính cẩn thận, ta có thể thấy, thực hiện cụ thể thì A dần dần hội tụ về 0.5.
• 
  

Cuối cùng, sau khi kiểm tra, ta sẽ có ( A ) nằm giữa ( \frac{7}{12} ) và ( \frac{5}{6} ).

Kết luận

Vậy nên, ta có:
[
\frac{7}{12} < A < \frac{5}{6}
]
THAM KHẢO

Ta có:

\(A=1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)

\(=\frac{1}{(1.2)}+\frac{1}{(3.4)}+\frac{1}{(5.6)}+...+\frac{1}{(49.50)}\)

Ta có:

A \(>\frac{1}{(1.2)}+\frac{1}{\left(3.4\right)}\)
\(=\frac12+\frac{1}{12}\)
\(=\frac{7}{12}\)

Mặt khác:

\(A=1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)

\(=1-\frac12+(\frac13-\frac14)+(\frac15-\frac16)+...+(\frac{1}{49}-\frac{1}{50})\)

Vì các số trong ngoặc đều dương nên:

A \(<1-\frac12+\frac13\)
= 5/6

Vậy: \(\frac{7}{12}<\) A \(<\frac56\) (đpcm)

.

+) ta có: \(A=1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)

\(A=\left(1-\frac12\right)+\frac13-\left(\frac14-\frac15\right)-\left(\frac16-\frac17\right)-\cdots-\left(\frac{1}{48}-\frac{1}{49}\right)-\frac{1}{50}\)

\(A=\frac12+\frac13-\frac{1}{4\cdot5}-\frac{1}{6\cdot7}-\ldots-\frac{1}{48\cdot49}-\frac{1}{50}\)

\(A=\frac56-\left(\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{6\cdot7}+\ldots+\frac{1}{48\cdot49}+\frac{1}{50}\right)\)

\(\Rightarrow A<\frac56\) (1)

Lại có: \(A=1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)

\(A=\left(1-\frac12+\frac13-\frac14\right)+\left(\frac15-\frac16\right)+\left(\frac17-\frac18\right)+\cdots+\left(\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\right)\)

\(A=\frac{7}{12}+\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{7\cdot8}+\cdots+\frac{1}{49\cdot50}\)

\(\Rightarrow A>\frac{7}{12}\) (2)

Tà (1) và (2) suy ra: \(\frac{7}{12}<A<\frac56\) (đpcm)