bài 1:

=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)

ta có \(a^2+bc\ge2a\sqrt{bc}\)

=> \(\frac{a}{a^2+bc}\le\frac{a}{2a\sqrt{bc}}=\frac{1}{2\sqrt{bc}}\)

vì \(\frac12\cdot\frac{1}{\sqrt{bc}}\le\frac12\frac{\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}{2}=\frac14\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

=> \(\frac{a}{a^2+bc}\le\frac14\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

=> \(\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ac}+\frac{c}{c^2+ab}\le\frac14\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac12\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac32\)

dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1(đpcm)

bài 2:

dự đoán điểm rơi a=3 và b=1

<=> \(S=\left(a^2-2a+9\right)+\left(a+\frac{9}{a}-6\right)+\left(b+\frac{1}{b}-2\right)+4a+2b+8\)

\(S=\left(a-3\right)^2+\frac{a^2-6a+9}{a}+\frac{b^2-2b+1}{b}+2\left(2a+b\right)+8\)

\(S=\left(a-3\right)^2+\frac{\left(a-3\right)^2}{a}+\frac{\left(b-1\right)^2}{b}+2\left(2a+b\right)+8\)

=> \(S\ge0+0+0+17+8=25\)

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a-3=0=>a=3

b-1=0=>b=1

a/bc + b/ac >= 2.căn(1/c^2) = 2/c
tương tự:
a/bc + c/ab >= 2/b
b/ac + c/ab >= 2/a
cộng vế theo vế ;
ta đc
a/bc +b/ac+ c/ab >= 1/a +1/b +1/c
2)
a / (b+c) + 1 = (a+b+c)/(b+c)
=> a / (b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) + 3 = (a+b+c)(1/(b+c) + 1/(a+c) + 1/(a+b))
áp dụng bđt cauchy quen thuộc
(x+y+z)(1/x + 1/y + 1/z) >= 9
=> 2(a+b+c)(1/(b+c) + 1/(a+c) + 1/(a+b))
= (a+b + b+c + c+a)(1/(b+c) + 1/(a+c) + 1/(a+b)) >=9
=> (a+b+c)(1/(b+c) + 1/(a+c) + 1/(a+b)) >= 9/2
=> (a+b+c)(1/(b+c) + 1/(a+c) + 1/(a+b)) -3 >= 3/2
=> a / (b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) + 3 -3 >= 3/2
=> a / (b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >=3/2

Chắc làm vậy

3) Đặt b+c=x;c+a=y;a+b=z.

=>a=(y+z-x)/2 ; b=(x+z-y)/2 ; c=(x+y-z)/2

BĐT cần CM <=> \(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\ge\frac{3}{2}\)

VT=\(\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}-1+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}-1+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-1\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)-3\right]\)

\(\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2-3\right)=\frac{3}{2}\)(Cauchy)

Dấu''='' tự giải ra nhá

Bài 4 

dễ chứng minh \(\left(a+b\right)^2\ge4ab;\left(b+c\right)^2\ge4bc;\left(a+c\right)^2\ge4ac\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(a+c\right)^2\ge64a^2b^2c^2\)

rồi khai căn ra \(\Rightarrow\)dpcm. 

đấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)

Bài 6 . Áp dụng BĐT Cauchy , ta có :

a² + b² ≥ 2ab ( a > 0 ; b > 0)

⇔ ( a + b)² ≥ 4ab

⇔ \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)≥ ab

⇔ \(\dfrac{a+b}{4}\) ≥ \(\dfrac{ab}{a+b}\) ( 1 )

CMTT , ta cũng được : \(\dfrac{b+c}{4}\) ≥ \(\dfrac{bc}{b+c}\) ( 2) ; \(\dfrac{a+c}{4}\) ≥ \(\dfrac{ac}{a+c}\)( 3)

Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ; 3 ) , Ta có :

\(\dfrac{a+b}{4}\) + \(\dfrac{b+c}{4}\) + \(\dfrac{a+c}{4}\) ≥ \(\dfrac{ab}{a+b}\) + \(\dfrac{bc}{b+c}\) + \(\dfrac{ac}{a+c}\)

⇔ \(\dfrac{a+b+c}{2}\) ≥ \(\dfrac{ab}{a+b}\) + \(\dfrac{bc}{b+c}\) + \(\dfrac{ac}{a+c}\)

Bài 4.

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương a , b, c , ta có :

\(1+\dfrac{a}{b}\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{a}{b}}\) ( a > 0 ; b > 0) ( 1)

\(1+\dfrac{b}{c}\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{b}{c}}\) ( b > 0 ; c > 0) ( 2)

\(1+\dfrac{c}{a}\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{c}{a}}\) ( a > 0 ; c > 0) ( 3)

Nhân từng vế của ( 1 ; 2 ; 3) , ta được :

\(\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\) ≥ \(8\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{a}}=8\)

\(1+1=2\)

Nên phép tính kia > 0

Đúng 100%

Đúng 100%

Đúng 100%

bạn giúp mình thì giúp bạn nhé!!!!