\(M=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{2}{ab}+4ab\)

\(=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{4ab}+4ab+\frac{5}{4ab}\)

\(\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{4ab}.4ab}+\frac{5}{4ab}\)

( Nếu đi thi thì sẽ phải chứng minh \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) cái này nhân chéo và cô si là xong )

Ta có BĐT phụ: \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( đúng )

\(\Rightarrow M\ge\frac{4}{1}+2+5=11\)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=1/2 

Vậy ...

1.

Ta sẽ chứng minh BĐT sau: \(\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{b^2+c^2}+\dfrac{1}{c^2+a^2}\ge\dfrac{10}{\left(a+b+c\right)^2}\)

Do vai trò a;b;c như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(c=min\left\{a;b;c\right\}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=a+\dfrac{c}{2}\\y=b+\dfrac{c}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+y=a+b+c\)

Đồng thời \(b^2+c^2=\left(b+\dfrac{c}{2}\right)^2+\dfrac{c\left(3c-4b\right)}{4}\le\left(b+\dfrac{c}{2}\right)^2=y^2\)

Tương tự: \(a^2+c^2\le x^2\) ; \(a^2+b^2\le x^2+y^2\)

Do đó: \(A\ge\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\)

Nên ta chỉ cần chứng minh: \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\ge\dfrac{10}{\left(x+y\right)^2}\)

Mà \(\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2}\le\dfrac{1}{4xy}\) nên ta chỉ cần chứng minh:

\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\ge\dfrac{5}{2xy}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{2}{xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}-\dfrac{1}{2xy}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-y\right)^2}{x^2y^2}-\dfrac{\left(x-y\right)^2}{2xy\left(x^2+y^2\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-y\right)^2\left(2x^2+2y^2-xy\right)}{2x^2y^2}\ge0\) (luôn đúng)

Vậy \(A\ge\dfrac{10}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\dfrac{10}{3^2}=\dfrac{10}{9}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};0\right)\) và các hoán vị của chúng

2.

Ta có: \(B=\dfrac{ab+1-1}{1+ab}+\dfrac{bc+1-1}{1+bc}+\dfrac{ca+1-1}{1+ca}\)

\(B=3-\left(\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+ca}+\dfrac{1}{1+ab}\right)\)

Đặt \(C=\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ca}\)

Ta có: \(C\ge\dfrac{9}{3+ab+bc+ca}\ge\dfrac{9}{3+\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{27}{13}\)

\(\Rightarrow B\le3-\dfrac{27}{13}=\dfrac{12}{13}\)

\(B_{max}=\dfrac{12}{13}\) khi \(a=b=c=\dfrac{2}{3}\)

Do \(a;b;c\in\left[0;1\right]\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)

\(\Leftrightarrow ab+c+1\ge a+b+c=2\)

\(\Rightarrow abc+ab+c+1\ge ab+c+1\ge2\)

\(\Rightarrow\left(c+1\right)\left(ab+1\right)\ge2\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{ab+1}\le\dfrac{c+1}{2}\)

Hoàn toàn tương tự, ta có: 

\(\dfrac{1}{bc+1}\le\dfrac{a+1}{2}\) ; \(\dfrac{1}{ca+1}\le\dfrac{b+1}{2}\)

Cộng vế: \(C\le\dfrac{a+b+c+3}{2}=\dfrac{5}{2}\)

\(\Rightarrow B\ge3-\dfrac{5}{2}=\dfrac{1}{2}\)

\(B_{min}=\dfrac{1}{2}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;1\right)\) và các hoán vị của chúng

\((\sqrt{a} + 2)(\sqrt{b} + 2) = 9\)

=>\(\sqrt{ab}+2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+4=9\)

=>\(\sqrt{ab}+2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=5\)

Theo Co-si, ta có: \(\sqrt{a} + \sqrt{b} \ge 2\sqrt{\sqrt{ab}} = 2\sqrt[4]{ab}\)

=>\(5 = \sqrt{ab} + 2(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \ge \sqrt{ab} + 4\sqrt[4]{ab}\) (1)

Đặt \(t = \sqrt[4]{ab} > 0\)

(1) sẽ tương đương: \(t^4 + 4t - 5 \le 0\)

=>\((t-1)(t^3+t^2+t+5)\le0\)

=>t-1<=0

=>t<=1

=>ab<=1

Theo BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:

\(T = \frac{a^4}{b} + \frac{b^4}{a} \ge \frac{(a^2+b^2)^2}{a+b} \ge \frac{\left(\frac{(a+b)^2}{2}\right)^2}{a+b} = \frac{(a+b)^3}{4}\)

ab<=1

=>Dấu '=' xảy ra khi a=b=1

=>\(T = \frac{1^4}{1} + \frac{1^4}{1} = 1 + 1 = 2\)

Vậy: T min=2 khi a=b=1

\(P=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\) (BĐT Cauchy Schwarz)

\(=\dfrac{9}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)

\(=\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{7}{ab+bc+ca}\)

\(\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}+\dfrac{7}{ab+bc+ca}\)

\(=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{7}{ab+bc+ca}\)

Ta có: \(ab+bc+ca\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{1}{3}\) .Thế vào biểu thức

\(\Rightarrow P\ge9+\dfrac{7}{\dfrac{1}{3}}=9+21=30\)

\(\Rightarrow P_{min}=30\) khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Ta thấy \(ab\le\dfrac{a^2+b^2}{2}=1\) và \(a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=2\). Áp dụng BĐT B.C.S, ta được \(P=\dfrac{a^4}{ba^2+a^2}+\dfrac{b^4}{ab^2+b^2}\) \(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{ba^2+ab^2+a^2+b^2}=\dfrac{2^2}{ab\left(a+b\right)+2}\ge\dfrac{4}{1.2+2}=1\)

ĐTXR \(\Leftrightarrow a=b=1\)

Vậy GTNN của P là 1 khi \(a=b=1\)

\(P=2\Sigma a+\Sigma\dfrac{1}{a}=\Sigma a+\Sigma a+\Sigma\dfrac{1}{a}\ge3.\sqrt[3]{\left(\Sigma a\right)^2.\Sigma\dfrac{1}{a}}\)

\(Q=\left(\Sigma a\right)^2.\Sigma\dfrac{1}{a}=\left(3+2\Sigma ab\right).\Sigma\dfrac{1}{a}=3\Sigma\dfrac{1}{a}+4\Sigma a+2\Sigma\dfrac{ab}{c}\ge3\Sigma\dfrac{1}{a}+6\Sigma a=3\left(\Sigma\dfrac{1}{a}+2\Sigma a\right)=3P\)\(\Rightarrow\)\(P\ge3\sqrt[3]{3P}\)   \(\Leftrightarrow P^3\ge81P\Leftrightarrow P^2\ge81\left(P>0\right)\Leftrightarrow P\ge9\)

" = " \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Vì $\large a,b,c \in\mathbb{N^*}$ và $\large a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a<\sqrt{3} & \\ b<\sqrt{3} & \\ c<\sqrt{3} & \end{matrix}\right.$

Ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau: 

Với $0 <x<\sqrt{3}$ thì $2x+\frac{1}{x} \ge x^2.\frac{1}{2}+\frac{5}{2}(*)$

Thật vậy $(*)$ $\large \Leftrightarrow (x-2)(x-1)^2 \le0$

Do $\large x<\sqrt{3}\Leftrightarrow x<2\Leftrightarrow (x-2)(x-1)^2<0$ (Luôn đúng)

Do đó bất đẳng thức được chứng minh 

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=1$

Trở lại bài toán: 

Áp dụng BĐT $(*)$ ta được:

$\large 2a+\frac{1}{a}+2b+\frac{1}{b}+2c+\frac{1}{c}\ge\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+\frac{15}{2}=9$

Do $a^2+b^2+c^2=3$

Vậy $GTNN=9$

Dấu $"="$ xảy ra khi: $a=b=c=1$