i) 58:252=58:(52)2=58:52.2=58:54=58−4=54

k) 49:642=49:(43)2=49:43.2=49:46=49−6=43

l) 225:324=225:(25)4=225:25.4=225:220=225−20=25

m) 1253:254=(53)3:(52)4=53.3:52.4=59:58=5

e) 38:36=38−6=32

f)  210:83=210:(23)3=210:23.3=210:29=210−9=2

g) 127:67=(12:6)7=27

h_ 215:813kết quả là số dư nên không tính ( đề sai )

a) 410.230=(22)10.230=22.10.230=220.230=220+30=250

b) 925.274.813=(32)25.(33)4.(34)3=33.25.33.4.34.3=375.312.312=375+12+12=399

c) 2550.1255=(52)50.(53)5=52.50.53.5=5100.515=5100+15=5115

d) 643.48.164=(43)3.48.(42)4=43.3.48.42.4=49.48.48=49+8+8=425

Ta có:

\(n^2+9n-2=n^2-2n+11n-2\)

\(=n(n-2)+11n-2\)

Vì \(n^2+9n-2\) chia hết cho 11 nên:

\(n^2+9n-2\equiv0\pmod{11}\)

Suy ra:

\(n^2-2n-2\equiv0\pmod{11}\)

Thử các số dư từ 0 đến 10, ta được:

- \(n\equiv 4\pmod{11}\)

- \(n\equiv 9\pmod{11}\)

Vậy \(n=11k+4\) hoặc \(n=11k+9\), với \(k\in\mathbb{N}\).

Mình hiểu đề bài là:

\(A=5^n(5^n+1)-6^n(3^n+2^n)\).

Ta có:

\(A=5^{2n}+5^n-6^n\cdot3^n-6^n\cdot2^n\)

\(=25^n+5^n-18^n-12^n\).

Tuy nhiên, biểu thức này không có tính chất chia hết cho 91 với mọi \(n\). Chẳng hạn \(n=1\):

\(A=5(6)-6(5)=0\), chia hết cho 91.

Bạn kiểm tra lại đề bài Bài 2 giúp mình, đặc biệt là các số mũ và dấu phép tính trong ngoặc nhé.

Ta có:

\(\overline{ababab}=100000a+10000b+1000a+100b+10a+b\)

\(=101010a+10101b\)

\(=10101(10a+b)\)

Mà \(10101=13\times777\).

Vậy \(\overline{ababab}\) chia hết cho 13 (điều phải chứng minh).

Ta có:

\(\overline{abcabc}=100000a+10000b+1000c+100a+10b+c\)

\(=100100a+10010b+1001c\)

\(=1001(100a+10b+c)\)

Mà \(1001=11\times91\).

Vậy \(\overline{abcabc}\) chia hết cho 11 (điều phải chứng minh).

Ta có:

\(12^{2004}-2^{1000}\)

\(= (10+2)^{2004}-2^{1000}\)

Vì \(12\) tận cùng là \(2\), nên \(12^{2004}\) tận cùng là \(6\) (do chu kỳ tận cùng của lũy thừa 2 là 2, 4, 8, 6).

Mặt khác, \(2^{1000}\) tận cùng là \(6\).

Vậy \(12^{2004}-2^{1000}\) có chữ số tận cùng là \(6-6=0\).

Suy ra biểu thức chia hết cho 10.

- Chứng minh C chia hết cho 3

Ta có:

\(C=2+2^2+2^3+\cdots+2^{60}\)

Vì \(2\equiv -1\pmod 3\), nên:

\(C\equiv -1+1-1+1+\cdots+1\pmod 3\)

Có 60 số hạng, ghép thành 30 cặp:

\(C\equiv (-1+1)\times30=0\pmod 3\).

Vậy \(C\) chia hết cho 3.

- Chứng minh C chia hết cho 7

Ta có:

\(2^3=8\equiv1\pmod 7\).

Do đó:

\(C=(2+2^2+2^3)+(2^4+2^5+2^6)+\cdots+(2^{58}+2^{59}+2^{60})\)

Mỗi nhóm 3 số hạng đều có tổng chia hết cho 7 vì:

\(2+2^2+2^3=2+4+8=14\).

Vậy \(C\) chia hết cho 7.

- Chứng minh C chia hết cho 15

Vì \(C\) chia hết cho 3 và 5 thì \(C\) chia hết cho 15.

Ta có \(2^4=16\equiv1\pmod 5\).

Nhóm 4 số hạng:

\(2+2^2+2^3+2^4=2+4+8+16=30\)

Các nhóm 4 số hạng tiếp theo cũng có tổng chia hết cho 5.

Vì 60 chia hết cho 4 nên \(C\) chia hết cho 5.

Vậy \(C\) chia hết cho 15.

Kết luận: \(C\) chia hết cho 3, 7 và 15.

Ta có: \(A=1+3+3^2+3^3+\cdots+3^{30}\).

Ta có chữ số tận cùng của các lũy thừa của 3 lần lượt là:

- \(3^1\): tận cùng là 3.

- \(3^2\): tận cùng là 9.

- \(3^3\): tận cùng là 7.

- \(3^4\): tận cùng là 1.

Cứ 4 lũy thừa thì chữ số tận cùng lặp lại theo chu kỳ \(3,9,7,1\).

Ta có:

\(3+9+7+1=20\)

Vì \(30=4\times7+2\), nên:

\(A\) có chữ số tận cùng giống \(1+7\times20+3+9\).

\(=1+140+12=153\).

Vậy chữ số tận cùng của \(A\) là \(\boxed{3}\).

Ta có:

\(A=1+3+3^2+3^3+\cdots+3^{30}\)

Nhóm các số hạng thành từng cặp:

\(A=(1+3)+(3^2+3^3)+\cdots+(3^{28}+3^{29})+3^{30}\)

Vì \(3\equiv-1\pmod4\), nên:

\(3^2\equiv1\pmod4\).

Do đó mỗi cặp đều có tổng chia hết cho 4:

- \(1+3=4\)

- \(3^2+3^3=9+27=36\), chia hết cho 4.

- Các cặp tiếp theo cũng tương tự.

Nhưng còn số hạng cuối \(3^{30}\), có số dư 1 khi chia cho 4.

Vì vậy \(A\) không chia hết cho 4.

Ta có : A = 1/2 . ( 7^2012^2015 - 3^92^94 )

               = 5 . 1/10 . ( 7^2012^2015 - 3^92^94 )           < chia hết cho 5 >

111\(\equiv\)0(mod 7) => 333\(\equiv\)0(mod 7)

=>111³³³+333¹¹¹ chia hết cho 7

a) Theo bài ra, ta có:

        \(\overline{abbc}=\overline{ab}.\overline{ac}.7\)

\(\Rightarrow\overline{ab}.100+\overline{bc}=\overline{ab}.\overline{ac}.7\)

\(\Rightarrow100+\frac{\overline{bc}}{\overline{ab}}=\overline{ac}.7\)

Ta thấy : \(\frac{10}{90}\le\frac{\overline{bc}}{\overline{ab}}\le\frac{91}{10}\)

\(\Rightarrow100+\frac{10}{90}\le100+\frac{\overline{bc}}{\overline{ab}}\le100+\frac{91}{10}\)

\(\Rightarrow\frac{901}{9}\le100+\frac{\overline{bc}}{\overline{ab}}\le\frac{1091}{10}.\)

Ta thấy: \(\overline{ac}\in N\Rightarrow\overline{ac}.7\in N\)

Mà \(\overline{ac}.7⋮7\Rightarrow\overline{ac}.7=105\)

\(\Rightarrow\overline{ac}=105:7=15\Rightarrow a=1;c=5\)

\(\Rightarrow100+\frac{\overline{bc}}{\overline{ab}}=105\Rightarrow\frac{\overline{bc}}{\overline{ab}}=105-100=5\)

\(\Rightarrow\overline{bc}=5.\overline{ab}\Rightarrow b.10+c=50.a+5b\)

\(\Rightarrow5b+5=50\Rightarrow5b=50-5=45\)

\(\Rightarrow b=45:5=9.\)

                                  Vậy \(a=1;b=9;c=5.\)

b) Theo bài ra, ta có:

     \(A=\frac{1}{2}\left(7^{2012^{2015}}-3^{92^{94}}\right)\)

 Vì \(7>3;2012>92;2015>94\Rightarrow7^{2012^{2015}}>3^{92^{94}}\)      

\(\Rightarrow7^{2012^{2015}}-3^{92^{94}}\)là một số tự nhiên.

     \(2012\equiv0\left(mod4\right)\)

\(\Rightarrow2012^{2015}\equiv0\left(mod4\right)\)

\(\Rightarrow2012^{2015}=4m\left(m\in N\right)\)

\(\Rightarrow7^{2012^{2015}}=7^{4m}=\left(7^4\right)^m=\overline{...1}^m=\overline{...1}.\)

          \(92\equiv0\left(mod4\right)\)

\(\Rightarrow92^{94}\equiv0\left(mod4\right)\)

\(\Rightarrow92^{94}=4n\left(n\in N\right)\)

\(\Rightarrow3^{92^{94}}=3^{4n}=\left(3^4\right)^n=\overline{...1}^n=\overline{...1}.\)

Thay vào, ta được :

      \(A=\frac{1}{2}\left(\overline{...1}-\overline{...1}\right)\)

 \(\Rightarrow A=\frac{1}{2}\left(\overline{...0}\right)\)

\(\overline{...0}\)là một số tự nhiên chia hết cho 10 \(\Rightarrow\)nó chia hết cho 2

\(\Rightarrow\)\(A\)là một số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 

\(\Rightarrow A⋮5.\)

Vậy A là một số tự nhiên chia hết cho 5.

\(\)

s giống đề của tui quá z

có ai biết làm đề trên không