Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(x=2+\sqrt5\)
=>\(x-2=\sqrt5\)
=>\(x^2-4x+4=5\)
=>\(x^2-4x-1=0\)
Để \(x=2+\sqrt5\) là nghiệm của \(x^3 + ax^2 + bx + c = 0\) thì \(x^3+ax^2+bx+c\) ⋮\(x^2-4x-1\)
\(x^3+ax^2+bx+c\)
\(=x^3-4x^2-x+\left(a+4\right)x^2-\left(4a+16\right)x-\left(a+4\right)\) +(b+4a+17)x+a+4+c
=\(\left(x^2-4x-1\right)\left(x+a+4\right)\) +(4a+b+17)x+a+c+4
Để \(x^3+ax^2+bx+c\) ⋮\(x^2-4x-1\) thì 4a+b+17=0 và a+c+4=0
=>b=-4a-17 và c=-a-4
Ta có: \(x=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=4-\sqrt{15}\)
Vì \(x=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\)là nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+1=0\)nên:
\(a\left(4-\sqrt{15}\right)^2+b\left(4-\sqrt{15}\right)+1=0\)
\(\Leftrightarrow a\left(31-8\sqrt{15}\right)+4b-\sqrt{15}b+1=0\)
\(\Leftrightarrow31a-8\sqrt{15}a+4b-\sqrt{15}b+1=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{15}\left(8a+b\right)=31a+4b+1\)
Do a b, là các số hữu tỉ nên \(31a+4b+1\)và \(8a+b\) là các số hữu tỉ
\(\Rightarrow\sqrt{15}\left(8a+b\right)\)là số hữu tỉ
Do đó \(\hept{\begin{cases}8a+b=0\\31a+4b+1=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=-8\end{cases}}\)
Vậy a = 1; b = -8
\(x=1+\sqrt{2}\) là nghiệm nên:
\(a\left(1+\sqrt{2}\right)^2+b\left(1+\sqrt{2}\right)+c=0\)
\(\Leftrightarrow\left(3+2\sqrt{2}\right)a+b+b\sqrt{2}+c=0\)
\(\Leftrightarrow3a+b+c=-\sqrt{2}\left(2a+b\right)\)
Vế trái hữu tỉ, vế phải vô tỉ nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}3a+b+c=0\\2a+b=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a+b+c=0\\b=-2a\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a-2a+c=0\\b=-2a\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=-a\\b=-2a\end{matrix}\right.\)
Thay vào pt ban đầu: \(ax^2-2ax-a=0\Leftrightarrow x^2-2x-1=0\)
Nghiệm còn lại là \(x=1-\sqrt{2}\)
Ta có \(\Delta=b^2-4ac=\left(a+c\right)^2-4ac=\left(a-c\right)^2\)
\(\Rightarrow x_1=\frac{-b+a-c}{2a};x_2=\frac{-b-a+c}{2a}\in Q.\)
4. \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=6\sqrt{55}\)
\(6\sqrt{55}\) là số vô tỉ, suy ra vế trái phải là các căn thức đồng dạng chứa \(\sqrt{55}\)
Đặt \(\sqrt{x}=a\sqrt{55};\sqrt{y}=b\sqrt{55}\) với \(a,b\in N\)
\(\Rightarrow a+b=6\)
Xét các TH:
a = 0 => b = 6
a = 1 => b = 5
a = 2 => b = 4
a = 3 => b = 3
a = 4 => b = 2
a = 5 => b = 1
a = 6 => b = 0
Từ đó dễ dàng tìm đc x, y
a) phương trình có a.c=3.(-8)=-24<0
vì a.c <0 nên phương trình có 2 nghiệm
b) phương trình có \(a.c=2004.\left(-1185\sqrt{5}\right)< 0\)
vì a.c<0 nên phương trình có 2 nghiệm
c) phương trình có \(a.c=3\sqrt{2}.\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)=6-3\sqrt{6}< 0\)
vì a.c<o nên phương trình có 2 nghiệm
d)phương trình có a.c=2010.(-m2)=-2010m2<0
vì a.c<0 nên phuong trình có 2 nghiệm
Lời giải:
Rút gọn \(x=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=4-\sqrt{15}\)
Gọi $x_0$ là một nghiệm nữa của pt đã cho (chưa cần biết phân biệt hay không).
Theo định lý Viete ta có: \(\left\{\begin{matrix} 4-\sqrt{15}+x_0=\frac{-b}{a}(1)\\ (4-\sqrt{15})x_0=\frac{1}{a}(2)\end{matrix}\right.\)
\((2)\Rightarrow x_0=\frac{1}{a(4-\sqrt{15})}=\frac{4+\sqrt{15}}{a}\)
Thay vào (1):
\(4-\sqrt{15}+x_0=4-\sqrt{15}+\frac{4+\sqrt{15}}{a}=\frac{-b}{a}\)
\(\Leftrightarrow a(4-\sqrt{15})+4+\sqrt{15}=-b\)
\(\Leftrightarrow (a-1)(4-\sqrt{15})=-b-8\)
Ta thấy vế phải là một số hữu tỉ nên vế trái cũng là số hữu tỉ
Mà \((a-1)(4-\sqrt{15})\) là tích một số hữu tỉ nhân một số vô tỷ, để kết quả là một số hữu tỉ thì \(a-1=0\Rightarrow a=1\)
\(\Rightarrow b=-8\)
Vậy \((a,b)=(1,-8)\)
x=(√5-√3)/(√5+√3)=(4-√15
a=0
x=1/b; b €Q=>1/b€Q=> 1/b≠4-√15=> a≠0
x=(-b±√∆)/(2a)=-b/(2a)±√∆/(2a)
x1=(4-√15)
a,b€Q=> -b/(2a)=4
√(b^2-4a)/(2a)=√15
16a^2-a=15a^2
a(a-1)=0
a≠0; a=1
a=1=> b =-8
Thay \(x=m+n\sqrt2\) vào phương trình, ta được:
\(a\left(m+n\sqrt2\right)^2+b\left(m+n\sqrt2\right)+c=0\)
=>\(a(m^2 + 2n^2 + 2mn\sqrt{2}) + b(m + n\sqrt{2}) + c = 0\)
=>\(am^2+2an^2+2amn\sqrt{2}+bm+bn\sqrt{2}+c=0\)
=>\((am^2 + 2an^2 + bm + c) + (2amn + bn)\sqrt{2} = 0 \quad (1)\)
=>\(\sqrt{2} = -\frac{am^2 + 2an^2 + bm + c}{2amn + bn}\)
mà \(-\frac{am^2 + 2an^2 + bm + c}{2amn + bn}\in Q;\sqrt2\notin Q\)
nên vô lý
Do đó, ta có: 2amn+bn=0(2)
Từ (1),(2) suy ra \(am^2 + 2an^2 + bm + c = 0 \quad (3)\)
Thay \(x=m-n\sqrt2\) vào \(A=ax^2+bx+c\) , ta được:
\(A = a(m - n\sqrt{2})^2 + b(m - n\sqrt{2}) + c\)
\(=a(m^2-2mn\sqrt{2}+2n^2)+b(m-n\sqrt{2})+c\)
\(=(am^2+2an^2+bm+c)-(2amn+bn)\sqrt{2}\)
=>\(A = 0 - 0 \cdot \sqrt{2} = 0\)
Do đó: \(x=m-n\sqrt2\) cũng là nghiệm của \(ax^2+bx+c=0\)