\(\left(a^2+b^2\right)⋮3\Leftrightarrow a^2⋮3;b^2⋮3\)

\(\orbr{\begin{cases}a^2⋮3\\b^2⋮3\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a⋮3\\b⋮3\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow a⋮3;b⋮3\)

Bài 1:

a; Cho a/b < 1 và a; b; c ∈ N*

Ta có: \(\frac{a}{b}\) = 1 - \(\frac{b-a}{b}\)

\(\frac{a+c}{b+c}\) = 1 - \(\frac{b-a}{b+c}\)

Vì a;b; c ∈ N* và a < b nên

\(\frac{b-a}{b}\) > \(\frac{b-a}{b+c}\)

⇒ \(\frac{a}{b}\) < \(\frac{a+c}{b+c}\) (Hai phân số phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn)

Vậy Cho a/b < 1 và a; b; c ∈ N* thì: \(\frac{a}{b}\) < \(\frac{a+c}{b+c}\) (Đpcm)

Câu 3:

Để 15/7 và 35/19 nhân cùng với một phân số tự sẽ được một số tự nhiên thì tử số của phân số đó phải chia hết cho 7 và 19

7 = 7; 19 = 19. Mẫu số của phân số đó phải là Ước Chung lớn nhất của 15 và 35

BCNN(7; 19) = 7.19 = 133

Vì tử số là số tự nhiên nhỏ nhất nên nó phải là BCNN(7; 19) = 133

15 = 3.5; 35 = 5.7

ƯCLN(15; 35) = 5

Phân số cần tìm là: 133/5

ta có tổng của hai số  nghich dao luon lon hoac bang 2

lấyS1+S2+S3=

̣̣b/a*x+c/a*z + a/b*x+c/b*y + a/c*z+b/c*y=x*[a/b+b/a]+y*[c/b+b/c]+z*[a/c+c/a] lớn hơn hoặc bằng 2*[x+y+z]=2*1008=2016

vậy S1+S2+S3 lớn hơn hoặc bằng 2016

ta có tổng của hai số  nghich dao luon lon hoac bang 2

lấyS1+S2+S3=

̣̣b/a*x+c/a*z + a/b*x+c/b*y + a/c*z+b/c*y=x*[a/b+b/a]+y*[c/b+b/c]+z*[a/c+c/a] lớn hơn hoặc bằng 2*[x+y+z]=2*1008=2016

vậy S1+S2+S3 lớn hơn hoặc bằng 2016

a) tổng S bằng

(2014+4).671:2=677 039

b)n.(n+2013) để mọi số tự nhiên n mà tổng trên chia hét cho 2 thì n=2n

→2n.(n+2013)\(⋮̸\)2

C)M=2+2²+2³+...+2²⁰

=(2+2²+2³+2⁴)+...+(2¹⁷+2¹⁸+2¹⁹+2²⁰)

=(2+2²+2³+2⁴)+...+(2¹⁶.2+2¹⁶.2²+2¹⁶+2³+2¹⁶.2⁴)

=30.1+...+2¹⁶.(2+2²+2³+2⁴)

=30.1+...+2¹⁶.30

=30(1+2⁵+2⁹+2¹³+2¹⁶)\(⋮\)5

c, M= 2 + 2² + 2³ +........2²⁰

Nhận xét: 2+ 2² + 2³ + 2⁴ = 30; 30 chia hết cho 5

Khi đó: M = ( 2+2² + 2³ + 2⁴ ) + (2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸)+.....+ (2¹⁷+2¹⁸+2¹⁹+2²⁰)

= ( 2+2² + 2³ + 2⁴ ) + 2⁴. ( 2+2² + 2³ + 2⁴ ) +...........+2¹⁶ .( 2+2² + 2³ + 2⁴ )

= 30+2⁴ .30 + 2⁸. 30 +.........+ 2¹⁶.30

= 30.(2⁴ + 2⁸ +.........+2¹⁶) chia hết cho 5 và 30 chia hết cho 5

Vậy M chia hết cho 5