Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(x+y+z=xyz\)
Chia hai vế cho \(xyz>0\), ta được:
\(\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{xy}=1\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
\(x+y+z\ge 3\sqrt[3]{xyz}\)
Mà \(x+y+z=xyz\), suy ra:
\(xyz\ge 3\sqrt{xyz}\)
\(\Rightarrow xyz\ge 3\sqrt{3}\)
Ta có:
\(Q=\dfrac{y+2}{x^2}+\dfrac{z+2}{y^2}+\dfrac{x+2}{z^2}\)
\(Q=\dfrac{y}{x^2}+\dfrac{z}{y^2}+\dfrac{x}{z^2}+2\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
\(\dfrac{y}{x^2}+\dfrac{z}{y^2}+\dfrac{x}{z^2}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{xyz}}\)
Và:
\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{x^2y^2z^2}}\)
Suy ra:
\(Q\ge \dfrac{3}{\sqrt[3]{xyz}}+\dfrac{6}{\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\).
Thay vào điều kiện, ta có \(3\sqrt{3}=3\sqrt{3}\).
Khi đó:
\(Q=\dfrac{\sqrt{3}+2}{3}+\dfrac{\sqrt{3}+2}{3}+\dfrac{\sqrt{3}+2}{3}\)
\(Q=\sqrt{3}+2\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(Q\) là \(\sqrt{3}+2\).
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia dạng phân thức cho 3 số ta có:
\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{2}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\begin{matrix}\dfrac{x}{y+z}=\dfrac{y}{z+x}=\dfrac{z}{x+y}\\x,y,z>0;x+y+z=2\end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
Áp dụng BĐT Svac-xơ cho 3 số dương có :
\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2.\left(x+y+z\right)}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
Vậy Min biểu thức cho là 1 khi \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)