Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
$a^2+b^2=(a^2-a+\frac{1}{4})+(b^2-b+\frac{1}{4})+(a+b-\frac{1}{2})$
$=(a-\frac{1}{2})^2+(b-\frac{1}{2})^2+(a+b-\frac{1}{2})$
$\geq a+b-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
Vậy $a^2+b^2\geq \frac{1}{2}$
Giá trị này đạt tại $a-\frac{1}{2}=b-\frac{1}{2}=0$
$\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$
a) \(\left(x+a\right).\left(x+b\right)=x.x+x.b+a.x+a.b=x^2+bx+ax+ab=x^2+\left(a+b\right)x+ab\)
Vậy (x + a) . (x + b) = x2 + (a + b) . x + ab.
b)\(\left(x+a\right).\left(x+b\right).\left(x+c\right)=\left(x^2+bx+ax+ab\right).\left(x+c\right)\)(Vế đầu mình áp dụng luôn ở câu a)
\(=x^2.x+x^2.c+bx.x+bx.c+ax.x+ax.c+ab.x+ab.c\)
\(=x^3+cx^2+bx^2+cbx+ax^2+cax+abx+abc\)
\(=x^3+\left(cx^2+bx^2+ax^2\right)+\left(cbx+cax+abx\right)+abc\)
\(=x^3+\left(a+b+c\right)x^2+\left(ab+ac+bc\right)x+abc\)
Vậy (x + a) . (x + b) . (x + c) = x3 + (a + b + c) . x2 + (ab + bc + ca) . x + abc.
\(x^4+y^4+\left(x+y\right)^4=2\left(x^4+y^4+2x^3y+3x^2y^2+2xy^3\right)\)
\(=2\left(\left(x^4+y^4+2x^2y^2\right)+\left(2x^3y+2xy^3\right)+x^2y^2\right)\)
\(=2\left(\left(x^2+y^2\right)^2+2xy\left(x^2+y^2\right)+x^2y^2\right)\)
\(=2\left(x^2+y^2+xy\right)^2\)
Đặt x2 + xy + y2 = a2 ; x + y = b.Ta có :
a4 = (a2)2 = (x2 + xy + y2)2 = x4 + y4 + x2y2 + 2x3y + 2xy2 + 2x2y2 = x4 + y4 + x2y2 + 2xy(x2 + y2 + xy) = x4 + y4 + x2y2 + 2xya2 (1)
mà b = x + y
=> b2 = x2 + y2 + 2xy = a2 + xy => b4 = a4 + x2y2 + 2a2xy .Từ (1) và (2) ,ta có :
2a4 = x4 + y4 + a4 + x2y2 + 2xya2 = x4 + y4 + b4.Thay a2 = x2 + xy + y2 ; b = x + y,ta có đpcm
<=>
\(x^2+y^2+1\ge xy+x+y\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\left(1\right)\)
\(y^2+1\ge2\sqrt{y^2}=2y\left(2\right)\)
\(x^2+1\ge2\sqrt{x^2}=2x\left(3\right)\)
Cộng theo vế của (1);(2) và (3) ta có:
\(2\left(x^2+y^2+1\right)\ge2\left(xy+x+y\right)\Leftrightarrow x^2+y^2+1\ge xy+x+y\)
Dấu "=" khi \(x=y\)
\(VD1:\) CMR: \(CMR:\left(x^3+x^2y+xy^2+y^3\right)\left(x-y\right)=x^4-y^4\)
Giải:
\(VT=\left(x^3+x^2y+xy^2+y^3\right)\left(x-y\right)\)
\(=x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3-x^3y-x^2y^2-xy^3-y^4\)
\(=x^4-y^4=VP\rightarrowĐPCM.\)
VD2: Chứng minh rằng nếu: \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(ax+by\right)^2\)
thì \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}.\)
Giải:
Ta có: \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(ax+by\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2=a^2x^2+2axby+b^2y^2\)
\(\Rightarrow\left(bx\right)^2-2axby+\left(ay\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\left(ay-bx\right)^2=0\)
\(\Rightarrow ay-bx=0\)
\(\Rightarrow ay=bx\Rightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}.\)
Có áp dụng hằng đẳng thức k
Đặng Thị Cẩm Tú có áp dụng mà
Thấy rồi ^^ , thế sửa cái trên đi :v