Bài 5.

1. Chứng minh

$\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}$

Ta có:

$\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{4}{a+b}$

$=\dfrac{2b(a+b)+a(a+b)-4ab}{ab(a+b)}$

$=\dfrac{a^2-ab+2b^2}{ab(a+b)}$

$=\dfrac{(a-b)^2+b^2}{ab(a+b)}\ge0$

Vậy: $\boxed{\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}}$

2. Chứng minh

$\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\ge\dfrac{a}{a+b+c}$

Vì $a,b,c>0$ nên:

$\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c>\dfrac1a$

Mà: $\dfrac1a>\dfrac{a}{a+b+c}$

Suy ra: $\boxed{\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\ge\dfrac{a}{a+b+c}}$

1.

$a^3+b^4-ab(a+b)$

$=a^3+b^4-a^2b-ab^2$

$=a^2(a-b)+b^2(b-a)$

$=(a-b)(a^2-b^2)$

$=(a-b)^2(a+b)\ge0$

Suy ra: $\boxed{a^3+b^4\ge ab(a+b)}$

2.

$a^4+b^4-ab(a^2+b^2)$

$=a^4+b^4-a^3b-ab^3$

$=a^3(a-b)+b^3(b-a)$

$=(a-b)(a^3-b^3)$

$=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)\ge0$

Vậy: $\boxed{a^4+b^4\ge ab(a^2+b^2)}$

3.

$a^5+b^5-ab(a^3+b^3)$

$=a^5+b^5-a^4b-ab^4$

$=a^4(a-b)+b^4(b-a)$

$=(a-b)(a^4-b^4)$

$=(a-b)^2(a+b)(a^2+b^2)\ge0$

Vậy: $\boxed{a^5+b^5\ge ab(a^3+b^3)}$

Giả thiết

\(a+b+c=\frac{a b c}{a b + b c + c a}\textrm{ }\Rightarrow\textrm{ }\left(\right.a+b+c\left.\right)\left(\right.ab+bc+ca\left.\right)=abc(\text{1})\)

Ta có

\(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}=\frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)

Xét vế trái

\(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}=\frac{b^{3} c^{3} + c^{3} a^{3} + a^{3} b^{3}}{a^{3} b^{3} c^{3}}\)

Mà

\(b^3c^3+c^3a^3+a^3b^3=\left(\right.abc\left.\right)\left(\right.ab+bc+ca\left.\right)\left(\right.a+b+c\left.\right)\)

dùng (1)

\(\left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. a b + b c + c a \left.\right) = a b c\)
Suy ra

tử số \(= \left(\right. a b c \left.\right)^{2}\)

Vậy:

\(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}=\frac{\left(\right. a b c \left.\right)^{2}}{\left(\right. a b c \left.\right)^{3}}=\frac{1}{a b c}(\text{2})\)

mặt khác

từ (1) ta có

\(a b c = \left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. a b + b c + c a \left.\right)\)
nên

\(\frac{1}{a b c}=\frac{1}{\left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. a b + b c + c a \left.\right)}\)

mà

\(a^3+b^3+c^3=\left(\right.a+b+c\left.\right)\left(\right.a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\left.\right)\)

ta được

\(\frac{1}{a b c}=\frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)

vậy

Đpcm

Bạn đưa ra đề bài như sau:

Cho \(a , b , c\) thỏa mãn:

\(a + b + c = \frac{a b c}{a b + b c + c a}\)

Chứng minh:

\(\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} = \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)

Trước tiên, mình hiểu đề bạn muốn nói là:

Cho \(a , b , c\) thỏa mãn:

\(a + b + c = \frac{a b c}{a b + b c + c a}\)

Chứng minh:

\(\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} = \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)

Bước 1: Phân tích giả thiết

Giả thiết:

\(a + b + c = \frac{a b c}{a b + b c + c a}\)

Nhân hai vế với \(a b + b c + c a\), ta được:

\(\left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. a b + b c + c a \left.\right) = a b c\)

Bước 2: Chúng ta cần chứng minh:

\(\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} = \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)

Viết dưới dạng đồng mẫu:

\(\frac{b^{3} c^{3} + a^{3} c^{3} + a^{3} b^{3}}{a^{3} b^{3} c^{3}} = \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)

Tức là:

\(\frac{b^{3} c^{3} + a^{3} c^{3} + a^{3} b^{3}}{a^{3} b^{3} c^{3}} = \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)

Suy ra:

\(\left(\right. b^{3} c^{3} + a^{3} c^{3} + a^{3} b^{3} \left.\right) \left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right) = a^{3} b^{3} c^{3}\)

Bước 3: Đặt

\(X = a^{3} , Y = b^{3} , Z = c^{3}\)

Ta cần chứng minh:

\(\left(\right. X Y + Y Z + Z X \left.\right) \left(\right. X + Y + Z \left.\right) = X Y Z\)

Bước 4: So sánh với giả thiết ban đầu

Ở giả thiết ban đầu, ta có:

\(\left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. a b + b c + c a \left.\right) = a b c\)

Nhưng ở đây, biến thành:

\(\left(\right. X + Y + Z \left.\right) \left(\right. X Y + Y Z + Z X \left.\right) = X Y Z\)

Với \(X = a^{3} , Y = b^{3} , Z = c^{3}\).

Bước 5: Kết luận

Như vậy, giả thiết ban đầu đúng với \(a , b , c\) thì với \(X = a^{3} , Y = b^{3} , Z = c^{3}\) cũng thỏa mãn giả thiết tương tự. Vậy công thức bạn muốn chứng minh là đúng dựa trên giả thiết cho trước.

Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2-ab+b^2\ge ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

BĐT đầu đúng => \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)đúng. Dấu "=" xảy ra <=> a=b

Áp dụng vào bài toán: \(a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b\right)+abc=ab\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)

Tương tự: \(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)

Cộng 3 cái trên lại: \(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)\(=\frac{c+a+b}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}.\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c.

một cửa hàng có 1 bao đường nặng 42kg. Ngày thứ nhất bán 2/7 bao đường. Ngày thứ hai bán 3/5 số đường còn lại. Hỏi sau hai ngày bán cửa hàng còn lai bao nhiêu kg đường

giải hộ mk nha

Ừ thì sai đề vô căn cứ đây!

Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức phụ với  \(a,b>0\), và với chú ý rằng nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức khi  \(a>b\) và  \(ab>0\)

Ta có:

\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)  \(\Leftrightarrow\)  \(a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)  \(\Leftrightarrow\)  \(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)  \(\left(1\right)\)

Hoàn toàn tương tự:

\(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}\)  \(\left(2\right)\)  và  \(\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)  \(\left(3\right)\) 

Cộng từng vế \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right)\)  và  ​\(\left(3\right)\), ta được:

\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)

Dấu   \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(a=b=c\)

bạn xem lại dấu BĐT ?

bạn thử thế a=1 c=2 b=3 vào là bik ngay đề sai

ta có: (a+b+c)² = a² + b² + c²

=> 2.(ab+ac+bc) = 0

ab + ac + bc = 0

=> 1/a + 1/b + 1/c = 0

Lại có: \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}-\frac{3}{abc}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right).\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}-\frac{1}{ab}-\frac{1}{ac}-\frac{1}{bc}\right).\)

                                                                \(=0.\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}-\frac{1}{ab}-\frac{1}{ac}-\frac{1}{bc}\right)=0\)

=> 1/a³ + 1/b³ + 1/c³  -3/abc = 0

=> 1/a³ + 1/b³ + 1/c³ = 3/abc

a) Điều phải chứng minh tương đương với:

\(a^3+b^3-a^2b-b^2a\ge0\\ \Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\left(luon.dung\right)\)

Dấu = xảy ra khi a=b

b) Áp dụng bất đẳng thức ở phần a ta có:

\(\dfrac{1}{a^3+b^3+1}\le\dfrac{1}{a^2b+b^2a+abc}=\dfrac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\\ =\dfrac{abc}{ab\left(a+b+c\right)}=\dfrac{c}{a+b+c}\left(do.abc=1\right)\)

Tương tự : \(\dfrac{1}{b^3+c^3+1}\le\dfrac{a}{a+b+c};\dfrac{1}{c^3+a^3+1}\le\dfrac{b}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

Dấu = xảy ra  <=> a=b=c=1

\(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}=\dfrac{3}{abc}\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{3}{ab}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)-\dfrac{3}{ab}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)+c^3=\dfrac{3}{abc}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^3+\dfrac{1}{c^3}-\dfrac{3}{ab}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)-\dfrac{3}{abc}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2-\dfrac{1}{c}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)+\dfrac{1}{c^2}\right)-\dfrac{3}{ab}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}-\dfrac{1}{ab}-\dfrac{1}{bc}-\dfrac{1}{ca}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b=c\\\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\end{matrix}\right.\)

Đề bài thiếu, cần thêm dữ liệu "a;b;c phân biệt"

Khi đó \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=a^2+b^2+c^2\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(a^3+a\geq 2a^2; b^3+b\geq 2b^2; c^3+c\geq 2c^2\)

\(\Rightarrow A=\frac{a}{a^3+a+1}+\frac{b}{b^3+b+1}+\frac{c}{c^3+c+1}\leq \frac{a}{2a^2+1}+\frac{b}{2b^2+1}+\frac{c}{2c^2+1}\)

\(\leq \frac{a}{a^2+2a}+\frac{b}{b^2+2b}+\frac{c}{c^2+2c}\)

hay \(A\leq \frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}(1)\)

Vì $abc=1$ nên đặt \((a,b,c)=(\frac{x}{y}, \frac{y}{z}, \frac{z}{x})(x,y,z>0)\)

Khi đó:
\(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=\frac{y}{x+2y}+\frac{z}{y+2z}+\frac{x}{z+2x}=\frac{1}{2}(1-\frac{x}{x+2y}+1-\frac{y}{y+2z}+1-\frac{z}{z+2x})\)

\(=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}(\frac{x^2}{x^2+2xy}+\frac{y^2}{y^2+2zy}+\frac{z^2}{z^2+2xz})\)

\(\leq \frac{3}{2}-\frac{1}{2}.\frac{(x+y+z)^2}{x^2+2xy+y^2+2zy+z^2+2xz}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}.\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2}=1(2)\) (theo BĐT Cauchy-Schwarz)

Từ \((1);(2)\Rightarrow A\leq 1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

bai n ay la bai o dau ma dau cung thay nhi

\(\left(a^{\dfrac{1}{3}};b^{\dfrac{1}{3}};c^{\dfrac{1}{3}}\right)->\left(x;y;z>0\right)\left(xyz=1\right)\)\(\RightarrowΣ\dfrac{x^3}{x^9+x^3+1}\le1\)

\(\dfrac{x^3}{x^9+x^3+1}\le\dfrac{x^2+1}{2\left(x^4+x^2+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{\left(x-1\right)^2\left(x^9+2x^8+4x^7+6x^6+6x^5+6x^4+5x^3+4x^2+2x+1\right)}{2\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(x^9+x^3+\right)}\le0\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{2}\cdot2=1=VP\)

a=b=c=x=y=z=1