Theo tính chất hình bình hành ta luôn có hai góc đối diện luôn bằng nhau .

Do đó : \(\widehat{P}=\widehat{R}=95^0\) và \(\widehat{Q}=\widehat{S}=65^0\)

theo công thức Brahmagupta bđt \(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{\frac{\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)^2-2\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)+8abcd}{16}-\frac{1}{4}\left(ac+bd\right)^2+\frac{1}{4}u^2v^2}\le\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}\)

Gọi u, v là 2 đường chéo của tứ giác, theo bđt Ptolemy ta coa: \(uv\le ac+bd\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{4}u^2v^2\le\frac{1}{4}\left(ac+bd\right)^2\)

Do đó cần CM: \(\sqrt{\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)^2-2\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)+8abcd}\le a^2+b^2+c^2+d^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)^2-2\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)+8abcd\le\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\) ( đúng theo Cosi ) 

Dấu "=" xảy ra khi ABCD là hình vuông 

a: Gọi O là giao điểm của AD và BC

Xét ΔODC có \(\hat{ODC}+\hat{OCD}=90^0\)

nên ΔODC vuông tại O

=>AD⊥BC

Xét ΔABC có

M,Q lần lượt là trung điểm của AB,AC
=>MQ là đường trung bình của ΔABC

=>MQ//BC và \(MQ=\frac{BC}{2}\)

Xét ΔDBC có

N,P lần lượt là trung điểm của DB,DC

=>NP là đường trung bình của ΔDBC

=>NP//BC và \(NP=\frac{BC}{2}\)

MQ//BC

NP//BC

Do đó: MQ//NP

\(MQ=\frac{BC}{2}\)

\(NP=\frac{BC}{2}\)

Do đó: MQ=NP

Xét ΔABD có

M,N lần lượt là trung điểm của BA,BD

=>MN là đường trung bình của ΔABD

=>MN//AD
mà AD⊥BC

nên MN⊥BC

MN⊥BC

BC//MQ

Do đó: MN⊥MQ

Xét tứ giác MNPQ có

MQ//NP

MQ=NP

Do đó: MNPQ là hình bình hành

b: Hình bình hành MNPQ có MN⊥MQ

nên MNPQ là hình chữ nhật

=>M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn

Bạn kham khao tại link:

Câu hỏi của Trần Thị Thảo Ngọc - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

https://www.google.com.vn/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=8&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwiz7t_v7vXcAhWadn0KHXIyAMcQFjAHegQIAxAB&url=https%3A%2F%2Folm.vn%2Fhoi-dap%2Fquestion%2F1014815.html&usg=AOvVaw0h6fXqwysaNQwyYWr3DvPL

Bạn kham khảo tại link:

Câu hỏi của Trần Thị Thảo Ngọc - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

https://www.google.com.vn/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=8&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwiz7t_v7vXcAhWadn0KHXIyAMcQFjAHegQIAxAB&url=https%3A%2F%2Folm.vn%2Fhoi-dap%2Fquestion%2F1014815.html&usg=AOvVaw0h6fXqwysaNQwyYWr3DvPL