bieu thuc:
m = a² + ab + b² - 3a - 3b + 2001

ta nhom cac hang tu:

m = (a² - 3a) + (ab) + (b² - 3b) + 2001

= (a² - 3a) + (b² - 3b) + ab + 2001

xet bieu thuc m theo a va b, ta co y tuong hoan thanh binh phuong

xet: a² - 3a = (a - 3/2)² - 9/4
xet: b² - 3b = (b - 3/2)² - 9/4

=> m = (a - 3/2)² - 9/4 + (b - 3/2)² - 9/4 + ab + 2001

= (a - 3/2)² + (b - 3/2)² + ab + 2001 - 9/2

= (a - 3/2)² + (b - 3/2)² + ab + 1996.5

de m nho nhat thi 2 binh phuong phai nho, va ab phai nho

do do ta set (a - 3/2) = x, (b - 3/2) = y => a = x + 3/2, b = y + 3/2

thay vao ta co:

m = x² + y² + (x + 3/2)(y + 3/2) + 1996.5

= x² + y² + xy + (3/2)x + (3/2)y + 9/4 + 1996.5

= x² + y² + xy + (3/2)(x + y) + 2006.75

muc tieu la tim x va y de bieu thuc nho nhat

bieu thuc chinh la: x² + y² + xy + (3/2)(x + y) + hang so

de nho nhat thi dao ham hoac thu thu

nhung ta co the thu cac gia tri x = 0, y = 0

=> a = 3/2, b = 3/2

=> m = (3/2)² + (3/2)(3/2) + (3/2)² - 3(3/2) - 3(3/2) + 2001
= 2.25 + 2.25 + 2.25 - 4.5 - 4.5 + 2001
= 6.75 - 9 + 2001 = 1998.75

=> m nho nhat la 1998.75 khi a = b = 3/2

vay:

a = 3/2, b = 3/2 thi m dat gt nho nhat la 1998.75

\(VT=\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\)

\(=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\)

\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\)

\(=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

không làm b nhé

Bài 1 ( của toán lớp 10 mà )

Ta có : ( P )  đi qua điểm A nên thay x = 4 ; y = 5 vào ( P ) , ta được : 

           5 = a . 4² + b . 4 + c 

          5 = 16a     +  4b   + c 

         -c = 16a + 4b - 5 

   => c = -16a - 4b + 5             ( * )  

( P ) có đỉnh là  I(2;1)  

=> \(\hept{\begin{cases}-\frac{b}{2a}=2\\-\frac{\Delta}{4a}=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-b=4a\\-\frac{\left(b^2-4ac\right)}{4a}=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=-4a\\b^2-4ac=-4a\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=-4a\\b^2-4a.\left(-16a-4b+5\right)=-4a\end{cases}}\)   ( c = - 16a -4b + 5 ) mình chứng minh ở trên nhé 

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=-4a\\\left(-4a\right)^2-4a.\left(-16a-4\left(-4a\right)+5\right)=-4a\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=-4a\\16a^2+48a^2-48a^2-20a+4a=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=-4a\\16a^2-16a=0\end{cases}}\) ( ở bước này bạn có thể tính bằng tay hoặc dùng máy tính nha : more 5 - 3 ) 

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=-4a\\a=1\left(nhan\right);a=0\left(loai\right)\end{cases}}\) ( a = 0 thì loại ; vì trong phương trình bậc 2 thì a phải khác 0 ) 

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=-4.\left(1\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=-4\end{cases}}\) 

Thay a = 1 và b = -4 vào phương trình   ( * )  ta được : 

c = -16 . 1 - 4 .( -4 ) +5 = 5 

vậy ( P ) là \(y=x^2-4x+5\)

bảng biến thiên :

bạn tự vẽ (P) nha , quá dễ mà 

BÀI 2 : \(\forall x\in R\) có nghĩa là vô số nghiệm 

\(\left(m^2-1\right)x+2m=5x-2v6\)

\(\Leftrightarrow\left(m^2-1\right)x-5x=2v6-2m\)

\(\Leftrightarrow\left(m^2-1-5\right)x=2v6-2m\)

\(\Leftrightarrow\left(m^2-6\right)x=2v6-2m\)

Phương trình có nghiệm \(\forall x\in R\) \(\Leftrightarrow0x=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m^2-6=0\\2v6-2m=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=\pm v6\\m=v6\end{cases}}\)

Vậy m = v6 thì phương trình có nghiệm đúng \(\forall x\in R\) ( bởi vì m = v6 và m =+-v6 nên ta chỉ lấy phần chung thôi ,lấy v6 ,loại bỏ -v6)

Bài 3 :

a )

\(\Delta=b^2-4ac\)

\(=\left[-2\left(2m-3\right)\right]^2-4.\left(2m-1\right).\left(2m+5\right)\)

\(=4.\left(4m^2-12m+9\right)-\left(8m-4\right)\left(2m+5\right)\)

\(=16m^2-12m+36-\left(16m^2+40m-8m-20\right)\)

\(=16m^2-12m+36-16m^2-40m+8m+20\)

\(=-44m+56\)

phương trình có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\)

\(\Leftrightarrow-44m+56\ge0\)

\(\Leftrightarrow-44m\ge-56\)

\(\Leftrightarrow m\le\frac{14}{11}\)

Vậy \(m\le\frac{14}{11}\) thì phương trình có nghiệm  ( m bé hơn hoặc bằng 14/11 nha ) 

b ) x1 = x2 có nghĩa là nghiệm kép nha  ( có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 ; đề bài đang đánh lừa bạn đấy ) 

phương trình có 2 nghiệm x1 = x2 \(\Leftrightarrow\Delta=0\)

\(\Leftrightarrow-44m+56=0\)

\(\Leftrightarrow m==\frac{14}{11}\)

Học tốt !!!!!

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=-4a\\\orbr{\begin{cases}a=0\\16a-16=0\end{cases}}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=-4a\\\orbr{\begin{cases}a=0\\16a-16=0\end{cases}}\end{cases}}\)

Ta có \(x^2-\left(7+y\right)x+6+2y=0\Leftrightarrow y\left(x-2\right)=x^2-7x+6\)

Rõ ràng x=2 không thể là nghiệm nên chia cả 2 vế cho x-2 ta được

\(y=\frac{x^2-7x+6}{x-2}=\left(x-5\right)+\frac{-4}{x-2}\)

Do x,y nguyên nên x-2 là Ư(-4) mà \(Ư_{\left(-4\right)}=\left\{-4;-2;-1;1;2;4\right\}\)

ta có bảng

đối chiếu điều kiện ở đề bài thì các cặp 

(x;y)={(1;0);(0;3);(-2;-6);(6;0);(4;-3);(3;-6)}

3, Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz dạng cộng mẫu thức ta có :

\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=2\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=1\)

Vậy ta có điều phải chứng minh

2 b 

\(bđt< =>a^2c^2+b^2d^2+2abcd\le a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\)

\(< =>2abcd\le a^2d^2+b^2c^2\)

\(< =>a^2b^2+b^2c^2-2abcd\ge0\)

\(< =>\left(ab-cd\right)^2\ge0\)*đúng*

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

Vậy ta đã hoàn tất chứng minh 

 giả sử √7 là số hữu tỉ 
=> √7 = a/b (a,b ∈ Z ; b ≠ 0) 
không mất tính tổng quát giả sử (a;b) = 1 
=>7 = a²/b² 
<=> a² = 7b² 
=> a² ⋮7
7 nguyên tố 
=> a ⋮ 7
=> a² ⋮49
=> 7b² ⋮ 49
=> b² ⋮7
=> b ⋮7
=> (a;b) ≠ 1 (trái với giả sử) 
=> giả sử sai 
=> √7 là số vô tỉ

C/m phản chứng,giả sử √7=a/b(số hữu tỉ) rồi c/m phản giả thiết=>điều giả sử là sai

P/s:lười làm

Bạn tham khảo :

https://olm.vn/hoi-dap/detail/221885529227.html

Đây :

Imgur: The magic of the Internet 

vào thống kê của toi , ấn chữ màu xanh 

hc tốt