a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có

góc B chung

=>ΔHBA đồng dạng với ΔABC

=>BH/BA=BA/CB

=>BA^2=BH*BC

b: Xét ΔBHD vuông tại H và ΔBEC vuông tại E có

góc HBD chung

=>ΔBHD đồng dạng với ΔBEC

=>BH/BE=BD/BC

=>BH*BC=BE*BD

a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có

góc B chung

=>ΔHBA đồng dạng với ΔABC

a: Xét ΔBAD có BA=BD

nên ΔBAD cân tại B

Ta có: \(\hat{BAD}+\hat{CAD}=\hat{BAC}=90^0\)

\(\hat{BDA}+\hat{HAD}=90^0\) (ΔHAD vuông tại H)

mà \(\hat{BAD}=\hat{BDA}\) (ΔBAD cân tại B)

nên \(\hat{CAD}=\hat{HAD}\)

=>AD là phân giác của góc HAC

b: Xét ΔAHD và ΔAED có

AH=AE

\(\hat{HAD}=\hat{EAD}\)

AD chung

Do đó: ΔAHD=ΔAED

=>\(\hat{AHD}=\hat{AED}\)

=>\(\hat{AED}=90^0\)

=>ED⊥AC
mà HK⊥AC
nên HK//ED

=>HKED là hình thang

c: ΔAHD=ΔAED

=>DH=DE

=>D nằm trên đường trung trực của HE(1)

Ta có: AH=AE

=>A nằm trên đường trung trực của HE(2)

Từ (1),(2) suy ra AD là đường trung trực của HE

=>AD⊥HE

Xét ΔAEH có

HK,AD là các đường cao

HK cắt AD tại I

Do đó: I là trực tâm của ΔAEH

=>EI⊥AH tại F

mà HC⊥HA

nên EF//HC

=>EFHC là hình thang

Hình thang EFHC có EF⊥FH

nên EFHC là hình thang vuông

A B C H E D 3 4

a)

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA\)có:

\(\widehat{BAC}=\widehat{AHB}\left(=90^ô\right)\)

\(\widehat{ABC}\)là góc chung (giả thiết)

Suy ra \(\Delta ABC\)đồng dạng với \(\Delta HBA\)(g.g)

b)

\(\Delta ABC\)vuông tại A

\(\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)\)

\(\Delta ABC\)đồng dạng với \(\Delta HBA\)

\(\Rightarrow\frac{AC}{AH}=\frac{BC}{AB}\Leftrightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{3.4}{5}=2,4\left(cm\right)\)

c) Ta có

\(\hept{\begin{cases}\text{AH//DE}\\\widehat{AHC}=90^o\end{cases}\Rightarrow\widehat{CDE}=90^o}\)

Xét \(\Delta ABC\)và \(\Delta DEC\)có

\(\widehat{BAC}=\widehat{CDE}=90^o\)

\(\widehat{ACB}\)là góc chung (giả thiết)

Suy ra \(\Delta ABC\)đồng dạng với \(\Delta DEC\)(g.g)

\(\Rightarrow\frac{CA}{CB}=\frac{CD}{CE}\Leftrightarrow CE.CA=CD.CB\left(đpcm\right)\)

d)

\(\Delta AHB\)vuông tại H

\(\Rightarrow BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{3^2-2,4^2}=1,8\left(cm\right)\)

Ta có;   \(CD=BC-BH-DH=5-1,8-2,4=0,8\left(cm\right)\)

Ta lại có: 

\(\frac{CA}{CB}=\frac{CD}{CE}\)(theo câu c)

\(\Rightarrow EC=\frac{CB.CD}{CA}=\frac{5.0,8}{4}=1\left(cm\right)\)

Ta lại có:

\(AE=AC-EC=4-1=3\left(cm\right)\)

mà \(AB=3cm\)nên \(AB=AE\)hay \(\Delta ABE\)cân tại A

Vậy \(\Delta ABE\)cân tại A

Hình vẽ ko được chính xác bạn thông cảm

Bài 3: 

a: Xét ΔAIB và ΔCID có

IA=IC

góc AIB=góc CID

IB=ID

Do đó: ΔAIB=ΔCID

b: Xét tứ giác ABCD có

I là trung điểm chung của AC và BD

nên ABCD là hình bình hành

Suy ra: AD//BC va AD=BC

Bài 6: 

a: Xét ΔADB và ΔAEC có

AD=AE
góc A chung

AB=AC

Do đó: ΔADB=ΔAEC
SUy ra: BD=CE
b: Xét ΔEBC và ΔDCB có

EB=DC

BC chung

EC=BD

Do đó: ΔEBC=ΔDCB

Suy ra: góc OBC=góc OCB

=>ΔOBC cân tại O

=>OB=OC

=>OE=OD

=>ΔOED cân tại O

c: Xét ΔABC có AE/AB=AD/AC
nên ED//BC

a: Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có

\(\hat{HBA}\) chung

Do đó: ΔBHA~ΔBAC

=>\(\frac{BH}{BA}=\frac{BA}{BC}\) (2)

=>\(BA^2=BH\cdot BC\)

b: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2\)

=>BC=10(cm)

ΔBHA~ΔBAC

=>\(\frac{AH}{AC}=\frac{BA}{BC}\)

=>\(AH=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{6\cdot8}{10}=4,8\left(\operatorname{cm}\right)\)

c: Xét ΔBAH có BE là phân giác

nên \(\frac{BH}{BA}=\frac{EH}{EA}\) (1)

Xét ΔBAC có BD là phân giác

nên \(\frac{BA}{BC}=\frac{AD}{DC}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\frac{EH}{EA}=\frac{AD}{DC}\)

=>\(EH\cdot DC=AE\cdot AD\)

Hình dễ vẽ; bạn tự vẽ nhé!

a) Xét tam giác HBA và tam giác ABC; ta có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{BAC}=90^0\)

\(\widehat{B}\)- chung

\(\Rightarrow\)tam giác HBA đồng dạng tam giác ABC (g-g)

b) Xét tam giác ABH và tam giác ADH có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{AHD}=90^0\)

\(AH\)- cạnh chung

\(BH=HD\)(GT)

\(\Rightarrow\)Tan giác ABD = tam giác ADH (c-g-c)

\(\Rightarrow\)AB = AD (2 cạnh tương ứng)

Vì tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC

\(\Rightarrow\frac{HB}{AB}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow HB.BC=AB.AB=AB.AD\)(Vì AB = AD theo chứng minh trên)

Vậy AB.AD=BH.BC (ĐPCM)