Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1. Tương đương \(\frac{3}{1+abc}-\left(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\right)\)
\(=\left(\frac{1}{1+abc}-\frac{1}{1+a^2}\right)+\left(\frac{1}{1+abc}-\frac{1}{1+b^2}\right)+\left(\frac{1}{1+abc}-\frac{1}{1+c^2}\right)\ge0\)
Quy đồng hết lên, kiên trì 1 chút, bạn sẽ thấy điều bất ngờ :V
2. \(M=\frac{3x^2+6x+10}{x^2+2x+3}\)
\(M=\frac{3x^2+6x+9+1}{x^2+2x+3}\)
\(M=\frac{3x^2+6x+9}{x^2+2x+3}+\frac{1}{x^2+2x+3}\)
\(M=3+\frac{1}{x^2+2x+3}\)
\(M=3+\frac{1}{\left(x+1\right)^2+2}\)
Để M có GTLN thì
\(\frac{1}{\left(x+1\right)^2+2}\) có GTLN
hay \(\left(x+1\right)^2+2\) có GTNN
Ta có: \(\left(x+1\right)^2+2\ge2\)
Suy ra GTNN của \(\left(x+1\right)^2+2=2\) khi \(x=-1\)
Suy ra: GTLN của \(M=3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}\) khi \(x=-1\)
2. Chứng minh rằng 12 +22 + 32 +......+n2 = \(\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)
HELPPPP 
\(1^2+2^2+...+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)(*)
Với n=1, ta có (*) luôn đúng
Giả sử (*) đúng với n=k ta có:
\(1^2+2^2+...+k^2=\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}\) (1)
Ta sẽ chứng minh (*) đúng với n=k+1, thật vậy từ (1) suy ra:
\(1^2+2^2+...+k^2+\left(k+1\right)^2=\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}+\left(k+1\right)^2\)
\(=\left(k+1\right)\left[\frac{k\left(2k+1\right)}{6}+\left(k+1\right)\right]\)\(=\frac{\left(k+1\right)\left(2k^2+k+6k+6\right)}{6}\)
\(=\frac{\left(k+1\right)\left(2k^2+7k+6\right)}{6}=\frac{\left(k+1\right)\left(2k^2+4k+3k+6\right)}{6}\)
\(=\frac{\left(k+1\right)\left[2k\left(k+2\right)+3\left(k+2\right)\right]}{6}=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}\)
Theo nguyên lý qui nạp (*) đúng với mọi n thuộc N*
Vậy ta có điều phải chứng minh
thanks nhìu ạk
Xét A= \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=a.\frac{a}{b+c}+b.\frac{b}{c+a}+c.\frac{c}{a+b}\)
\(=a\left(\frac{a}{b+c}+1-1\right)+b\left(\frac{b}{c+a}+1-1\right)+c\left(\frac{c}{a+b}+1-1\right)\)
\(=a\left(\frac{a+b+c}{b+c}-1\right)+b\left(\frac{a+b+c}{c+a}-1\right)+c\left(\frac{a+b+c}{a+b}-1\right)\)
\(=a.\frac{a+b+c}{b+c}-a+b.\frac{a+b+c}{c+a}-b+c.\frac{a+b+c}{a+b}-c\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)-\left(a+b+c\right)\) =0