a) Gọi M', d' và (C') theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua O.

Dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ ta có :

M′ = (2; −3), phương trình của d′: 3x – y – 9 = 0, phương trình của đường tròn (C′): x 2   +   y 2   −   2 x   +   6 y   +   6   =   0 .

b) Gọi M', d' và (C') theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua I .

Vì I là trung điểm của MM' nên M′ = (4;1)

Vì d' song song với d nên d' có phương trình 3x – y + C = 0.

Lấy một điểm trên d, chẳng hạn N(0; 9).

Khi đó ảnh của N qua phép đối xứng qua tâm I là N′(2; −5).

Vì N' thuộc d nên ta có 3.2 − (−5) + C = 0. Từ đó suy ra C = -11.

Vậy phương trình của d' là 3x – y – 11 = 0.

Để tìm (C'), trước hết ta để ý rằng (C) là đường tròn tâm J(−1; 3),

bán kính bằng 2. Ảnh của J qua phép đối xứng qua tâm I là J′(3; 1).

Do đó (C') là đường tròn tâm J' bán kính bằng 2. Phương trình của (C') là x   −   3 2   +   y   −   1 2   =   4 .

Tọa độ A'(x;y) là ảnh của A(3;-1) qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ là:

\(\begin{cases}x=y_{A}=\left(-1\right)\\ y=-x_{A}=-3\end{cases}\)

=>A'(-1;-3)

Gọi (d1): ax+by+c=0 là ảnh của (d) qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ

=>(d1)⊥(d)

=>(d1): x-y+c=0

lấy B(2;-1) thuộc (d)

Lấy B'(x;y) là ảnh của B(2;-1) qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ

=>\(\begin{cases}x=y_{B}=-1\\ y=-x_{B}=-2\end{cases}\)

Thay x=-1 và y=-2 vào (d1), ta được:

-1-(-2)+c=0

=>-1+2+c=0

=>c+1=0

=>c=-1

=>(d1): x-y-1=0

(C): \(x^2+y^2+2x-3y-1=0\)

=>\(x^2+2x+1+y^2-3y+\frac94-\frac{13}{4}-1=0\)

=>\(\left(x+1\right)^2+\left(y-\frac32\right)^2=\frac{17}{4}\)

=>Tâm là I(-1;3/2); bán kính là \(R=\sqrt{\frac{17}{4}}=\frac{\sqrt{17}}{2}\)

Gọi (C') là ảnh của (C) qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ là:

Gọi I' là tâm của (C')

=>I'(x;y) là ảnh của I(-1;3/2) qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ

Tọa độ I' là:

\(\begin{cases}x=-y_{I}=-\frac32\\ y=x_{I}=-1\end{cases}\)

Phương trình (C') là:

\(\left(x+\frac32\right)^2+\left(y+1\right)^2=R^2=\frac{17}{4}\)

a) d 1 : 3x + 2y + 6 = 0

b) Giao của d và Δ là A(2;0). Lấy B(0; −3) thuộc d. Ảnh của B qua phép đối xứng của đường thẳng Δ là B′(5;2). Khi đó d' chính là đường thẳng AB′: 2x − 3y – 4 = 0

Gọi M′, d′ và (C') theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua trục Ox .

Khi đó M′ = (3;5) . Để tìm ta viết biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục:

Thay (1) vào phương trình của đường thẳng d ta được 3x′ − 2y′ − 6 = 0.

Từ đó suy ra phương trình của d' là 3x − 2y – 6 = 0

Thay (1) vào phương trình của (C) ta được x ' 2   +   y ' 2   −   2 x ′   +   4 y ′   −   4   =   0 .

Từ đó suy ra phương trình của (C') là x   −   1 2   +   y   −   2 2   =   9 .

Cũng có thể nhận xét (C) có tâm là I(1; −2), bán kính bằng 3,

từ đó suy ra tâm I' của (C') có tọa độ (1;2) và phương trình của (C') là x   −   1 2   +   y   −   2 2   =   9