a: I là trung điểm của AB

=>\(IA=IB=\frac{AB}{2}=3\left(\operatorname{cm}\right)\)

I là trung điểm của CD

=>\(IC=ID=\frac{CD}{2}=4\left(\operatorname{cm}\right)\)

Kẻ AH⊥CD; BK⊥CD

=>HK là hình chiếu của AB trên CD

Xét ΔIHA vuông tại H có cos AIH=\(\frac{IH}{IA}\)

=>\(\frac{IH}{3}=cos60=\frac12\)

=>IH=1,5(cm)

Xét ΔIHA vuông tại H và ΔIKB vuông tại K có

IA=IB

\(\hat{AIH}=\hat{BIK}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIHA=ΔIKB

=>IH=IK

=>I là trung điểm của HK

=>HK=2*IH=3(cm)

b: Kẻ CM⊥AB tại M và DN⊥AB tại N

=>MN là hình chiếu của CD trên AB

Xét ΔIMC vuông tại M có cos CIM=\(\frac{IM}{IC}\)

=>\(\frac{IM}{4}=cos60=\frac12\)

=>IM=2(cm)

Xét ΔIMC vuông tại M và ΔIND vuông tại N có

IC=ID

\(\hat{MIC}=\hat{NID}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIMC=ΔIND

=>IM=IN

=>I là trung điểm của MN

=>MN=2*MI=4(cm)

ANH hay là AH vậy bạn

a) Ta có: AC vừa là trung tuyến vừa là đường cao của tam giác CBD

=> Tam giác CDB cân tại C

b) Ta có: AM song song với BC(gt) và A là trung điểm của DB

=> M cũng là trung điểm của CD (Định lý về đường trung bình)

c) M là trung điểm của CD (theo câu b) và N là trung điểm của CB(gt)

=> MN là đường trung bình của tam giác CBD => MN // DB

\(4.\)- Vì \(\Delta CBD\)cân tại \(C\)(cmt)  \(\Rightarrow\) \(CA\)là tia phân giác \(\widehat{BCD}\)
                                                         \(\Rightarrow\) \(\widehat{BCD}=2.\widehat{BCA}=2.30^0=60^0\)
- Xét \(\Delta BCA\)vuông tại \(A\) \(\Rightarrow\) \(\widehat{ABC}+\widehat{BCA}=90^0\)                   
                                              \(\Rightarrow\)\(\widehat{ABC}=90^0-\widehat{BCA}=90^0-30^0=60^0\)
- Xét \(\Delta CBD\)có \(\widehat{BCD}=60^0;\)\(\widehat{ABC}=60^0\) \(\Rightarrow\) \(\Delta CBD\)đều
- Xét  \(\Delta CBD\)đều  có:
  \(\cdot\) \(M\)là trung điểm của \(DC\) (cmt)   suy ra  \(BM\) là đường trung tuyến của \(DC\)
  \(\cdot\) \(A\) là trung điểm của \(DB\) (gt)      suy ra  \(CA\) là đường trung tuyến của \(DB\)
mà   \(BM\)cắt \(CA\) tại \(G\)  (gt)  suy ra \(G\)là trọng tâm của \(\Delta CBD\)
     nên  \(BG=2.GM=2.3=6\left(cm\right)\)
- Vì    \(\Delta CBD\)đều nên \(BM=CA\)suy ra \(GA=GM=3cm\)
- Xét \(\Delta ABG\) vuông tại \(A\)theo định lý Py-ta-go,
   ta được:           \(AB^2=BG^2-AG^2=6^2-3^2=27\)(cm)
                \(\Rightarrow\)  \(AB=\sqrt{27}\)