\(1a.\left(\sqrt{28}-2\sqrt{3}+\sqrt{7}\right)\sqrt{7}+\sqrt{84}=\left(2\sqrt{7}-2\sqrt{3}+\sqrt{7}\right)\sqrt{7}+\sqrt{84}=21-2\sqrt{21}+2\sqrt{21}=21\) \(b.\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}\right)^2-\sqrt{120}=11+2\sqrt{30}-2\sqrt{30}=11\)

\(2a.\sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{ab}+\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{\dfrac{a}{b}.b^2}+\sqrt{\dfrac{a^2}{b^2}.\dfrac{b}{a}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}+b\sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\left(2+b\right)\sqrt{\dfrac{a}{b}}\) \(b.\sqrt{\dfrac{m}{1-2x+x^2}}.\sqrt{\dfrac{4m-8mx+4mx^2}{81}}=\sqrt{\dfrac{m}{\left(x-1\right)^2}}.\sqrt{\dfrac{\left(2\sqrt{m}x-2\sqrt{m}\right)^2}{81}}=\dfrac{\sqrt{m}}{\text{|}x-1\text{|}}.\dfrac{\text{|}2\sqrt{m}x-2\sqrt{m}\text{|}}{9}=\dfrac{\sqrt{m}}{\text{|}x-1\text{|}}.\dfrac{2\sqrt{m}\text{|}x-1\text{|}}{9}=\dfrac{2m}{9}\) \(3a.VP=\left(\dfrac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)\left(\dfrac{1-\sqrt{a}}{1-a}\right)^2=\left(a+\sqrt{a}+1+\sqrt{a}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}+1}\right)^2=\left(\sqrt{a}+1\right)^2.\dfrac{1}{\left(\sqrt{a}+1\right)^2}=1=VT\)

KL : Vậy đẳng thức được chứng minh.

\(b.VP=\dfrac{a+b}{b^2}.\sqrt{\dfrac{a^2b^4}{a^2+2ab+b^2}}=\dfrac{a+b}{b^2}.\dfrac{b^2\text{|}a\text{|}}{\text{|}a+b\text{|}}=\dfrac{a+b}{b^2}.\dfrac{b^2\text{|}a\text{|}}{a+b}=\text{|}a\text{|}=VT\)

KL : Vậy đẳng thức được chứng minh .

P/s : Dài v ~

Bài giải:

a) Vì A(2; -2) thuộc đồ thì nên 2a + b = -2.

Vì B(-1; 3) thuộc đồ thì nên -a + b = 3. Ta có hệ phương trình ẩn là a và b.

. Từ đó

b) Vì A(-4; -2) thuộc đồ thị nên -4a + b = -2.

Vì B(2; 1) thuộc đồ thị nên 2a + b = 1.

Ta có hệ phương trình ẩn là a, b: ⇔

⇔

c) Vì A(3; -1) thuộc đồ thị nên 3a + b = -1

Vì B(-3; 2) thuộc đồ thị nên -3a + b = 2.

Ta có hệ phương trình ẩn a, b:

⇔ ⇔

d) Vì A(√3; 2) thuộc đồ thị nên √3a + b = 2.

Vì B(0; 2) thuộc đồ thị nên 0 . a + b = 2.

Ta có hệ phương trình ẩn là a, b.

⇔ ⇔

Bài giải:

a) Vì A(2; -2) thuộc đồ thì nên 2a + b = -2.

Vì B(-1; 3) thuộc đồ thì nên -a + b = 3. Ta có hệ phương trình ẩn là a và b.

. Từ đó 

b) Vì A(-4; -2) thuộc đồ thị nên -4a + b = -2.

Vì B(2; 1) thuộc đồ thị nên 2a + b = 1.

Ta có hệ phương trình ẩn là a, b:  ⇔ 

⇔ 

c) Vì A(3; -1) thuộc đồ thị nên 3a + b = -1

Vì B(-3; 2) thuộc đồ thị nên -3a + b = 2.

Ta có hệ phương trình ẩn a, b:

 ⇔ ⇔ 

Bài 1 :

a)\(\sqrt{-2\text{x}+3}\) <=> -2x+3 \(\ge\)0 <=> -2x \(\ge\) -3 <=> x\(\le\) \(\frac{3}{2}\)

b)\(\sqrt{\frac{4}{x+3}}< =>x+3>0< =>x>-3\)

Bài 2 :

a)\(\sqrt{\left(4+\sqrt{2}\right)^2}=\left|4+\sqrt{2}\right|=4+\sqrt{2}\)

b)\(2\sqrt{3}+\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^2}=2\sqrt{3}+\left|2-\sqrt{3}\right|=2\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=2+\sqrt{3}\)

c) \(\sqrt{\left(3-\sqrt{3}\right)^2}=\left|3-\sqrt{3}\right|=3-\sqrt{3}\)

Bài 3 :

a) \(\sqrt{9-4\sqrt{5}}-\sqrt{5}=-2\)

VT = \(\sqrt{5-2.2.\sqrt{5}+2^2}-\sqrt{5}\)

=\(\sqrt{\left(\sqrt{5}\right)^2-4\sqrt{5}+2^2}-\sqrt{5}\)

=\(\sqrt{\left(\sqrt{5}-2\right)^2}-\sqrt{5}\)

=|\(\sqrt{5-2}\)| -\(\sqrt{5}\)

= \(\sqrt{5}-2-\sqrt{5}\)

= -2 = VP

b)\(\sqrt{23+8\sqrt{7}}-\sqrt{7}=4\)

VT = \(\sqrt{7+2.4.\sqrt{7}+4^2}-\sqrt{7}\)

= \(\sqrt{\left(\sqrt{7}+4\right)^2}-\sqrt{7}\)

= |\(\sqrt{7}+4\)| -\(\sqrt{7}\)

=\(\sqrt{7}+4-\sqrt{7}\)

= 4 =VP

c) \(\left(4-\sqrt{7}\right)^2=23-8\sqrt{7}\)

VT = \(16-8\sqrt{7}+7\)

= 23 - \(8\sqrt{7}\) = VP

Bài 4:

a)\(\frac{x^2-5}{x+\sqrt{5}}=\frac{x^2-\left(\sqrt{5}\right)^2}{x+\sqrt{5}}=\frac{\left(x+\sqrt{5}\right)\left(x-\sqrt{5}\right)}{x+\sqrt{5}}=x-\sqrt{5}\)

Tương tự

Bài 5 :

a) \(\sqrt{x^2+6\text{x}+9}=3\text{x}-1\)

=> \(\sqrt{\left(x+3^2\right)}\) = 3x-1

=> x+3 = 3x-1

+) x+3 =3x-1 => x= 2

+)x+3=-3x-1 => x= \(\frac{-1}{2}\) ( không tmđk)

b)+c) Tương tự

Bài 3 : Áp dụng BĐT Bu - nhi - a cốp xki ta có :

\(A=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\le\sqrt{\left(1^2+1^2\right)\left(x-2+4-x\right)}=\sqrt{2.2}=2\)

Vậy GTLN của A là 2 . Dấu \("="\) xảy ra khi \(x=3\)

\(B=\sqrt{6-x}+\sqrt{x+2}\le\sqrt{\left(1^2+1^2\right)\left(6-x+x+2\right)}=\sqrt{2.8}=4\)

Vậy GTLN của B là 4 . Dấu \("="\) xảy ra khi \(x=2\)

\(C=\sqrt{x}+\sqrt{2-x}\le\sqrt{\left(1^2+1^2\right)\left(x+2-x\right)}=\sqrt{2.2}=2\)

Vậy GTLN của C là 2 . Dấu \("="\) xảy ra khi \(x=1\)

Bài 2:

a .\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)

\("="\Leftrightarrow a=b\)

b. \(\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\Leftrightarrow a+b< \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\Leftrightarrow a+b< a+b+2\sqrt{ab}\left(a,b>0\right)\)

\(c.a+b+\dfrac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\) ( t nghĩ là > thôi )

d. \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+\left(b-2\sqrt{bc}+c\right)+\left(c-2\sqrt{ca}+a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\ge0\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c\)

e. \(\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2a+2b-a-b-2\sqrt{ab}}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{4}\ge0\) ( đúng)

\("="\Leftrightarrow a=b\)

\(a.\sqrt{32+10\sqrt{7}}+\sqrt{32-10\sqrt{7}}=\sqrt{25+2.5\sqrt{7}+7}+\sqrt{25-2.5\sqrt{7}+7}=5+\sqrt{7}+5-\sqrt{7}=10\)

\(b.\sqrt{13+30\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}}=\sqrt{13+30\sqrt{2+\sqrt{8+2.2\sqrt{2}+1}}}=\sqrt{13+30\sqrt{2+2\sqrt{2}+1}}=\sqrt{13+30\left(\sqrt{2}+1\right)}=\sqrt{25+2.5.3\sqrt{2}+18}=5+3\sqrt{2}\) \(c.\dfrac{3-\sqrt{x}}{9-x}=\dfrac{3-\sqrt{x}}{\left(3-\sqrt{x}\right)\left(3+\sqrt{x}\right)}=\dfrac{1}{3+\sqrt{x}}\)

\(d.\dfrac{x-5\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}-3}=\sqrt{x}-2\)

\(e.\dfrac{x-3\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}-2\)

\(f.\dfrac{x\sqrt{x}+64}{\sqrt{x}+4}=\dfrac{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(x-4\sqrt{x}+16\right)}{\sqrt{x}+4}=x-4\sqrt{x}+16\)

\(g.\dfrac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+\sqrt{xy}+y\right)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=x+\sqrt{xy}+y\)

Còn 2 con cuối làm tương tự nhé ( đăng dài quá ).

\(a.\sqrt{32+10\sqrt{7}}+\sqrt{32-10\sqrt{7}}=\sqrt{25+2.\sqrt{25}.\sqrt{7}+7}+\sqrt{25-2.\sqrt{25}.\sqrt{7}+7}=\sqrt{\left(5+\sqrt{7}\right)^2}+\sqrt{\left(5-\sqrt{7}\right)^2}=5+\sqrt{7}+5-\sqrt{7}=10\)\(b.\sqrt{13+30\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}}=\sqrt{13+30\sqrt{2+\sqrt{8+2.\sqrt{8}.1}+1}}=\sqrt{13+30\sqrt{2+\sqrt{\left(\sqrt{8}+1\right)^2}}}=\sqrt{13+30\sqrt{2+\sqrt{8}+1}}=\sqrt{13+30\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{13+30\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}}}=\sqrt{13+30\sqrt{2}+30}=\sqrt{\sqrt{25}+2.\sqrt{25}.\sqrt{18}+18}=\sqrt{\left(5+\sqrt{18}\right)^2}=5+\sqrt{18}\)

\(c.\dfrac{3-\sqrt{x}}{9-x}=\dfrac{\left(3-\sqrt{x}\right)\left(3+\sqrt{x}\right)}{9-x}.\dfrac{1}{3+\sqrt{x}}=\dfrac{9-x}{9-x}.\dfrac{1}{3+\sqrt{x}}=\dfrac{1}{3+\sqrt{x}}=\dfrac{3-\sqrt{x}}{9-x}\)\(d.\dfrac{x-5\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{x-2\sqrt{x}-3\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)-3\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)}=\sqrt{x}-2\)\(e.\dfrac{x-3\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{x-\sqrt{x}-2\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-2\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}-2\)

\(g.\dfrac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\dfrac{\left(x\sqrt{x}-y\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}=\dfrac{x^2+x\sqrt{xy}-y\sqrt{xy}-y^2}{x-y}=\dfrac{\sqrt{xy}\left(x-y\right)+\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{x-y}=\dfrac{\left(x-y\right)\left(\sqrt{xy}+x+y\right)}{x-y}=x+y+\sqrt{xy}\)\(h.6-2x-\sqrt{9-6x+x^2}=6-2x-\sqrt{\left(x-3\right)^2}=6-2x-\left|x-3\right|=6-2x-3+x=3-x\)

\(i.\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}}=\sqrt{x+1+2\sqrt{x+1}+1}=\sqrt{\left(\sqrt{x+1}+1\right)^2}=\sqrt{x+1}+1\)

a) ...= \(\dfrac{1}{4}\).\(6\sqrt{5}\) +\(2\sqrt{5}\) - \(3\sqrt{5}\) +5

= \(\dfrac{3}{2}\sqrt{5}\) -\(\sqrt{5}\) +5

=5 - \(\dfrac{1}{2}\sqrt{5}\)

d) ...= \(\sqrt{\dfrac{a}{\left(1+b\right)^2}}\) . \(\sqrt{\dfrac{4a\left(1+b\right)^2}{15^2}}\)

= \(\sqrt{\dfrac{4a^2\left(1+b\right)^2}{\left(1+b\right)^2.15^2}}\) = \(\sqrt{\dfrac{4a^2}{15^2}}\)= \(\dfrac{2a}{15}\)

chỉ câu b,c luôn đi nha nha ❤

Cái này mk làm câu a), câu b) bạn tự áp dụng nha :3

a)

\(\sqrt{6}-\sqrt{7}=\frac{\left(\sqrt{6}-\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{7}\right)}{\left(\sqrt{6}+\sqrt{7}\right)}=\frac{6-7}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}=\frac{-1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}\)

Tương tự ta có \(\sqrt{7}-\sqrt{8}=\frac{-1}{\sqrt{7}+\sqrt{8}}\)

Dễ dàng thấy \(\sqrt{7}+\sqrt{8}>\sqrt{6}+\sqrt{7}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{8}}< \frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}\Leftrightarrow\frac{-1}{\sqrt{7}+\sqrt{8}}>\frac{-1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}\)

Vậy \(\sqrt{7}-\sqrt{8}>\sqrt{6}-\sqrt{7}\)

Bài 3:(dài quá,đăng từ câu):

a)Từ giả thiết suy ra \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge3\Rightarrow a+b+c\ge3\)

BĐT \(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)\)

Mà \(VT\ge3\left(a^3+b^3+c^3\right)\). Do đó ta chứng minh một BĐT chặt hơn là:

\(3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)+3abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)+2\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left[ab\left(a+b\right)+bc\left(c+b\right)+ca\left(c+a\right)\right]\) (*)

Để ý rằng theo Cô si: \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\) (1) và

\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left[ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\right]\ge0\) (2)

Do \(a^3+b^3-ab\left(a+b\right)=\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Rightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\). Tương tự với hai BĐT còn lại suy ra (2) đúng (3)

Từ (1) và (2) và (3) suy ra (*) đúng hay ta có đpcm.

Bài ngắn làm trước:

Bài 5: Dự đoán xảy ra đẳng thức khi a=1; b=2/3; c=4/3. Ta biến đổi như sau:

\(A=\left(4a^2+4\right)+\left(6b^2+\frac{8}{3}\right)+\left(3c^2+\frac{16}{3}\right)-12\)

\(\ge2\sqrt{4a^2.4}+2\sqrt{6b^2.\frac{8}{3}}+2\sqrt{3c^2.\frac{16}{3}}-12\)

\(=8\left(a+b+c\right)-12=8.3-12=12\)

Dấu "=" xảy ra khi ....

Bài này dùng wolfram alpha cho lẹ, đi thi không dùng được thì em dùng "cân bằng hệ số"