a, x^3+y^3−x^2y−xy^2≥0

x^2(x−y)+y^2(y−x)≥0

=x^2(x−y)−y^2(x−y)

=(x−y)(x^2−y^2)

Dùng hằng đẳng thức x^2−y^2=(x−y)(x+y):

=(x−y)^2(x+y)≥0

Vì x,y>0⇒x+y>0 và (x−y)^2≥0.

Vậy:

x^3+y^3≥x^2y+xy^2​

chào lại em An baka nha:)

a) \(\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2y+xy^2\right)=\left(x^3-x^2y\right)-\left(xy^2-y^3\right)\)

= \(x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\)

vì x,y alf các số dương nên \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\left(đpcm\right)\)

"=" xảy ra ki x=y

b) \(4\left(x^3+y^3\right)\ge\left(x+y\right)^3\)

\(4\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^3\)

vì x,y>0 nên x+y>0

=> \(4\left(x^2-xy+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=x^2+2xy+y^2\)

\(\Leftrightarrow3x^2-6xy+3y^2\ge0\)

\(3\left(x-y\right)^2\ge0\) đúng với mọi x,y

"=" xảy ra khi x=y

c) ta có" \(\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)=x^3+y^3+x^2y+xy^2\)

\(2\left(x^3+y^3\right)\ge x^3+y^3+x^2y+xy^2\)

\(x^2+y^3\ge x^2y+xy^2\) (CM ở câu a)

"=" khi x=y

d) \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}=\frac{x+y}{xy}-\frac{4}{x+y}\)

\(=\frac{\left(x+y\right)^2-4xy}{xy\left(x+y\right)}\)

\(=\frac{\left(x-y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}\)

vì x,y dương nên \(\frac{\left(x-y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}\ge0\)

"=" xảy ra khi x=y

a, \(x^3 + y^3 \geq x^2y + xy^2\)

\(\Leftrightarrow(x^3+y^3)-(x^2y+xy^2)\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2(x-y)-y^2(x-y)\ge0\)

\(\Leftrightarrow(x-y)(x^2-y^2)\ge0\)

\(\Leftrightarrow(x-y)(x-y)(x+y)\ge0\)

\(\Leftrightarrow(x-y)^2(x+y)\ge0\)

Vì \((x - y)^2 \ge 0\) với mọi \(x,y\) và \(x+y>0\) (do \(x,y>0\) ), nên bất đẳng thức \((x - y)^2(x + y) \ge 0\) luôn đúng.

Dấu = xảy ra khi \(x=y\)

b, \(4(x^3 + y^3) \ge (x + y)^3\)

\(4(x^3 + y^3) - (x + y)^3 \ge 0\)

\(\Leftrightarrow4x^3+4y^3-(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3)\ge0\)

\(\Leftrightarrow3x^3-3x^2y-3xy^2+3y^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^3-x^2y-xy^2+y^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2(x-y)-y^2(x-y)\ge0\)

\(\Leftrightarrow(x-y)(x^2-y^2)\ge0\)

\(\Leftrightarrow(x-y)^2(x+y)\ge0\)

Bất đẳng thức cuối luôn đúng vì \((x - y)^2 \ge 0\) và \(x + y > 0\) .

Dấu = xảy ra khi \(x=y\)

c, \(2(x^3 + y^3) \ge (x + y)(x^2 + y^2)\)

\(\Leftrightarrow2(x^3+y^3)-(x+y)(x^2+y^2)\ge0\)

\(\Leftrightarrow2x^3+2y^3-(x^3+xy^2+x^2y+y^3)\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2(x-y)-y^2(x-y)\ge0\)

\(\Leftrightarrow(x-y)(x^2-y^2)\ge0\)

\(\Leftrightarrow(x-y)^2(x+y)\ge0\)

Bất đẳng thức này đúng với mọi \(x,y>0\) .

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\) .

d, \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{x + y}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x + y}{xy}\ge\dfrac{4}{x + y}\)

Vì \(x, y > 0\) nên \(xy > 0\) và \(x+y>0\) . Nhân cả 2 vế với \(xy(x + y)\) :

\(\Leftrightarrow(x+y)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow(x-y)^2\ge0\)

Bất đẳng thức \((x - y)^2 \ge 0\) luôn đúng với mọi \(x, y\) .

Dấu = xảy ra khi \(x=y\)