E D C B H K x M N A

a) Xét \(\Delta BEA\) và \(\Delta DCA\) có:

AE = AC (gt)

\(\widehat{BAE}=\widehat{DAC}\) (đối đỉnh)

AB = AD (gt)

\(\Rightarrow\Delta BEA=\Delta DCA\) (c.g.c)

\(\Rightarrow BE=CD\) (2 cạnh t/ư)

b) Ta có: \(BM=\frac{1}{2}BE\) (M là tđ)

\(DN=\frac{1}{2}CD\) (N là tđ)

mà BE = CD \(\Rightarrow BM=DN\)

Vì \(\Delta BEA=\Delta DCA\) (câu a)

\(\Rightarrow\widehat{EBA}=\widehat{CDA}\) (so le trong)

hay \(\widehat{MBA}=\widehat{NDA}\)

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ADN\) có:

AB = AD (gt)

\(\widehat{MBA}=\widehat{NDA}\) (c/m trên)

BM = DN (c/m trên)

\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ADN\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{DAN}\) (2 góc t/ư)

mà \(\widehat{DAN}+\widehat{NAB}=180^o\) (kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{BAM}+\widehat{NAB}=180^o\)

\(\Rightarrow M,A,N\) thẳng hàng.

Bài làm rất công phu

B C A M N H K O

a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

\(\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)

Xét tam giác ABM và tam giác ACN có:

AB = AC

MB = NC

\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)

\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ACN\left(c-g-c\right)\)

b) Do \(\Delta ABM=\Delta ACN\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{CAK}\)  (Hai góc tương ứng)

Xét tam giác vuông AHB và AKC có:

AB = AC (gt)

\(\widehat{BAH}=\widehat{CAK}\)

\(\Rightarrow\Delta AHB=\Delta AKC\)   (Cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow AH=AK\)

c) Ta có \(\Delta AHB=\Delta AKC\Rightarrow HB=KC\)

Xét tam giác vuông AHO và AKO có:

AH = AK

AO chung

\(\Rightarrow\Delta AHO=\Delta AKO\)   (Cạnh huyền - cạnh góc vuông)

\(\Rightarrow HO=KO\)

Mà HB = CK nên OB = OH - HB = OK - CK = OC

Vậy nên tam giác OBC cân tại O.

Giải :

Hình vẽ ; giả thiết, kết luận đã được đầu bài cho sẵn.

Chứng minh :

Xét \(\Delta AMC\text{ và }\Delta BMD\), có :

\(MA=MB\text{ (gt)}\)

\(\angle AMC=\angle DMB\text{ (đối đỉnh)}\)

\(DM=CM\text{ (gt)}\)

\(\Rightarrow\Delta AMC=\Delta BMD\text{ (c.g.c)}\)

b/ Ta có : \(\bigtriangleup AMC=\bigtriangleup BMD\text{ (c.m.t)}\)

\(\Rightarrow\widehat{DBM}=\widehat{ACM}\text{ (2 góc tương ứng ở vị trí so le trong)}\) (1)

\(\Rightarrow BD//AC\)

Xét \(\bigtriangleup DMA\text{ và }\bigtriangleup BMC,\text{ có :}\)

\(\widehat{DMA}=\widehat{BMC}\text{ (đối đỉnh)}\)

\(DM=CM\left(gt\right)\)

\(BM=AM\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\bigtriangleup DMA=\bigtriangleup BMC\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ADM}=\widehat{DCM}\text{ (2 góc tương ứng ở vị trí so le trong)}\) (2)

\(\text{Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành}\) (3)

\(\angle ACB=90^{\text{o}}\) (4)

\(\text{T}ừ\text{ (3) và (4) suy ra hình bình hành ABCD là hình chữ nhật}\) (đpcm)

a) EA = EH

Xét ΔABE và ΔHBE vuông tại A và H:

• Góc ABE chung
• Góc BAE = góc EBC (BE là phân giác)
  ⇒ ΔABE ∽ ΔHBE
  ⇒ EA = EH

b) EK = EC

Xét ΔAEC và ΔHEK vuông tại A và H:

• Góc tại E chung
• EA = EH (câu a)
  ⇒ ΔAEC ∽ ΔHEK
  ⇒ EK = EC

c) BE ⊥ KC

Vì EK = EC ⇒ ΔECK cân tại E
⇒ BE vừa là phân giác vừa là đường cao
⇒ BE ⊥ KC

A B C D E K F

a, K;F là trung điểm của BD; BC (gt) 

=> FK là đtb của tg BDC 

=> FK // DC 

mà DC // AB do ABCD là hình thang

=> FK//AB

b, K;E là trung điểm của BD; AD => KE là đtb của tg ABD

=> KE = 1/2 AB VÀ KE //  AB

có AB = 4 

=> ke = 2 cm

c, có KE // AB mà KF // AB

=> E;K;F thẳng hàng (tiên đề ơ clit)

uh...

dài thế❕