Câu hỏi của Chí Cường

Question

Ai chứng minh giúp mình trong mọi ∆ABC thì a bằng r( cot B/2 + cotC/2) với ạ, r là bán kính đtròn nội tiếp tam giác ABC

Nguyễn Tuấn Dũng · Accepted Answer

Kẻ đường cao từ $A$ xuống $B C$, hoặc đơn giản dùng công thức diện tích.

Ta có: $S = \frac{1}{2} a r .$

Mặt khác, $S = \frac{1}{2} b c sin ⁡ A .$

Công thức cần chứng minh có thể biến đổi như sau:

$r \left(\right. cot ⁡ \frac{B}{2} + cot ⁡ \frac{C}{2} \left.\right) = r \frac{sin ⁡ \frac{B + C}{2}}{sin ⁡ \frac{B}{2} sin ⁡ \frac{C}{2}} .$

Vì $B + C = 180^{\circ} - A$

nên $sin ⁡ \frac{B + C}{2} = cos ⁡ \frac{A}{2} .$

Do đó $r \left(\right. cot ⁡ \frac{B}{2} + cot ⁡ \frac{C}{2} \left.\right) = r \frac{cos ⁡ \frac{A}{2}}{sin ⁡ \frac{B}{2} sin ⁡ \frac{C}{2}} .$

Bây giờ dùng công thức bán kính nội tiếp

$r = 4 R sin ⁡ \frac{A}{2} sin ⁡ \frac{B}{2} sin ⁡ \frac{C}{2}$

suy ra:

$r \left(\right. cot ⁡ \frac{B}{2} + cot ⁡ \frac{C}{2} \left.\right) = 4 R sin ⁡ \frac{A}{2} cos ⁡ \frac{A}{2} = 2 R sin ⁡ A .$

Theo định lý sin, $a = 2 R sin ⁡ A .$

Vậy $a=r\left(\right.cot⁡\frac{B}{2}+cot⁡\frac{C}{2}\left.\right)$ (Đpcm)
Cái này là mình tham khảo chat gpt, mình cũng chưa học đến ấy bạn

Câu trả lời: