a) ∆ABC cân tại A
⇒ ∠ABC = ∠ACB
Mà ∠ACB = ∠ECN (đối đỉnh)
⇒ ∠ABC = ∠ECN
⇒ ∠DBM = ∠ECN
Xét hai tam giác vuông: ∆DBM và ∆ECN có:
BD = CE (gt)
∠DBM = ∠ECN (cmt)
⇒ ∆DBM = ∆ECN (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
⇒ DM = EN (hai cạnh tương ứng)
b) Do DM ⊥ BC (gt)
EN ⊥ BC (gt)
⇒ DM // EN
⇒ ∠DMI = ∠ENI (so le trong)
Xét hai tam giác vuông: ∆DMI và ∆ENI có:
DM = EN (cmt)
∠DMI = ∠ENI (cmt)
⇒ ∆DMI = ∆ENI (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
⇒ MI = NI (hai cạnh tương ứng)
⇒ I là trung điểm của MN
⇒ BC cắt MN tại trung điểm I của MN
c) Do AH ⊥ BC nên AH là đường cao của ∆ABC
Mà ∆ABC cân tại A
AH cũng là đường phân giác của ∆ABC
⇒ ∠BAH = ∠CAH
⇒ ∠BAO = ∠CAO
Do ∆ABC cân tại A (gt)
⇒ AB = AC
Xét ∆OAB và ∆OAC có:
OA là cạnh chung
∠BAO = ∠CAO (cmt)
AB = AC (cmt)
⇒ ∆OAB = ∆OAC (c-g-c)
⇒ OB = OC (hai cạnh tương ứng)
Ta có:
I là trung điểm MN (cmt)
OI ⊥ MN (gt)
⇒ OI là đường trung trực của MN
⇒ OM = ON
Do ∆DBM = ∆ECN (cmt)
⇒ BM = CN (hai cạnh tương ứng)
Xét ∆OBM và ∆OCN có:
OB = OC (cmt)
OM = ON (cmt)
BM = CN (cmt)
⇒ ∆OBM = ∆OCN (c-c-c)
d) Do ∆OBM = ∆OCN (cmt)
⇒ ∠OBM = ∠OCN (hai góc tương ứng)
Do ∆OAB = ∆OAC (cmt)
⇒ ∠OBA = ∠OCA (hai góc tương ứng)
⇒ ∠OBM = ∠OCA
Mà ∠OBM = ∠OCN (cmt)
⇒ ∠OCN = ∠OCA
Mà ∠OCN + ∠OCA = 180⁰ (kề bù)
⇒ ∠OCN = ∠OCA = 180⁰ : 2 = 90⁰
⇒ OC ⊥ AC
a) ∆ABC cân tại A
⇒ ∠ABC = ∠ACB
Mà ∠ACB = ∠ECN (đối đỉnh)
⇒ ∠ABC = ∠ECN
⇒ ∠DBM = ∠ECN
Xét hai tam giác vuông: ∆DBM và ∆ECN có:
BD = CE (gt)
∠DBM = ∠ECN (cmt)
⇒ ∆DBM = ∆ECN (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
⇒ DM = EN (hai cạnh tương ứng)
b) Do DM ⊥ BC (gt)
EN ⊥ BC (gt)
⇒ DM // EN
⇒ ∠DMI = ∠ENI (so le trong)
Xét hai tam giác vuông: ∆DMI và ∆ENI có:
DM = EN (cmt)
∠DMI = ∠ENI (cmt)
⇒ ∆DMI = ∆ENI (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
⇒ MI = NI (hai cạnh tương ứng)
⇒ I là trung điểm của MN
⇒ BC cắt MN tại trung điểm I của MN
c) Do AH ⊥ BC nên AH là đường cao của ∆ABC
Mà ∆ABC cân tại A
AH cũng là đường phân giác của ∆ABC
⇒ ∠BAH = ∠CAH
⇒ ∠BAO = ∠CAO
Do ∆ABC cân tại A (gt)
⇒ AB = AC
Xét ∆OAB và ∆OAC có:
OA là cạnh chung
∠BAO = ∠CAO (cmt)
AB = AC (cmt)
⇒ ∆OAB = ∆OAC (c-g-c)
⇒ OB = OC (hai cạnh tương ứng)
Ta có:
I là trung điểm MN (cmt)
OI ⊥ MN (gt)
⇒ OI là đường trung trực của MN
⇒ OM = ON
Do ∆DBM = ∆ECN (cmt)
⇒ BM = CN (hai cạnh tương ứng)
Xét ∆OBM và ∆OCN có:
OB = OC (cmt)
OM = ON (cmt)
BM = CN (cmt)
⇒ ∆OBM = ∆OCN (c-c-c)
d) Do ∆OBM = ∆OCN (cmt)
⇒ ∠OBM = ∠OCN (hai góc tương ứng)
Do ∆OAB = ∆OAC (cmt)
⇒ ∠OBA = ∠OCA (hai góc tương ứng)
⇒ ∠OBM = ∠OCA
Mà ∠OBM = ∠OCN (cmt)
⇒ ∠OCN = ∠OCA
Mà ∠OCN + ∠OCA = 180⁰ (kề bù)
⇒ ∠OCN = ∠OCA = 180⁰ : 2 = 90⁰
⇒ OC ⊥ AC
a) ∆ABC cân tại A
⇒ ∠ABC = ∠ACB
Mà ∠ACB = ∠ECN (đối đỉnh)
⇒ ∠ABC = ∠ECN
⇒ ∠DBM = ∠ECN
Xét hai tam giác vuông: ∆DBM và ∆ECN có:
BD = CE (gt)
∠DBM = ∠ECN (cmt)
⇒ ∆DBM = ∆ECN (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
⇒ DM = EN (hai cạnh tương ứng)
b) Do DM ⊥ BC (gt)
EN ⊥ BC (gt)
⇒ DM // EN
⇒ ∠DMI = ∠ENI (so le trong)
Xét hai tam giác vuông: ∆DMI và ∆ENI có:
DM = EN (cmt)
∠DMI = ∠ENI (cmt)
⇒ ∆DMI = ∆ENI (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
⇒ MI = NI (hai cạnh tương ứng)
⇒ I là trung điểm của MN
⇒ BC cắt MN tại trung điểm I của MN
c) Do AH ⊥ BC nên AH là đường cao của ∆ABC
Mà ∆ABC cân tại A
AH cũng là đường phân giác của ∆ABC
⇒ ∠BAH = ∠CAH
⇒ ∠BAO = ∠CAO
Do ∆ABC cân tại A (gt)
⇒ AB = AC
Xét ∆OAB và ∆OAC có:
OA là cạnh chung
∠BAO = ∠CAO (cmt)
AB = AC (cmt)
⇒ ∆OAB = ∆OAC (c-g-c)
⇒ OB = OC (hai cạnh tương ứng)
Ta có:
I là trung điểm MN (cmt)
OI ⊥ MN (gt)
⇒ OI là đường trung trực của MN
⇒ OM = ON
Do ∆DBM = ∆ECN (cmt)
⇒ BM = CN (hai cạnh tương ứng)
Xét ∆OBM và ∆OCN có:
OB = OC (cmt)
OM = ON (cmt)
BM = CN (cmt)
⇒ ∆OBM = ∆OCN (c-c-c)
d) Do ∆OBM = ∆OCN (cmt)
⇒ ∠OBM = ∠OCN (hai góc tương ứng)
Do ∆OAB = ∆OAC (cmt)
⇒ ∠OBA = ∠OCA (hai góc tương ứng)
⇒ ∠OBM = ∠OCA
Mà ∠OBM = ∠OCN (cmt)
⇒ ∠OCN = ∠OCA
Mà ∠OCN + ∠OCA = 180⁰ (kề bù)
⇒ ∠OCN = ∠OCA = 180⁰ : 2 = 90⁰
⇒ OC ⊥ AC
Lời giải:
Trên $AC$ lấy $E$ sao cho $AB=AE$. Xét tam giác $ABD$ và $AED$ có:
$\widehat{BAD}=\widehat{EAD}$ (do $AD$ là tia phân giác $\widehat{A}$)
$AD$ chung
$AB=AE$
$\Rightarrow \triangle ABD=\triangle AED$ (c.g.c)
$\Rightarrow BD=DE(1)$ và $\widehat{ABD}=\widehat{AED}$
Có:
$\widehat{DEC}=180^0-\widehat{AED}=180^0-\widehat{ABD}=\widehat{ECD}+\widehat{BAC}> \widehat{ECD}$
$\Rightarrow DC> DE(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow DC> DB$
\(\widehat{M_1}\) = \(\widehat{M_3}\) (hai góc đối đỉnh)
\(\widehat{M_3}\) + \(\widehat{N_1}\) = 1800 (hai góc trong cùng phía)
\(\widehat{M_3}\) = 1800 - \(\widehat{N_1}\)
\(\widehat{M_3}\) = 1800 - 500
\(\widehat{M_3}\) = 1300
⇒ \(\widehat{M_1}\) = 1300
Kết luận: \(\widehat{M_1}\) = 1300
Do tam giác MQE vuông tại E \(\Rightarrow\widehat{EMQ}+\widehat{EQM}=90^0\) (1)
Mà \(\widehat{EQM}\) là góc ngoài của tam giác NPQ, theo tính chất góc ngoài của tam giác:
\(\widehat{EQM}=\widehat{ENP}+\widehat{QPN}\) (2)
\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\widehat{EMQ}+\widehat{ENP}+\widehat{QPN}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{EMQ}+\widehat{ENP}+\widehat{QPN}-90^0=0\)
Câu b đề thiếu rồi em, cần biết quan hệ giữa a và b nữa mới tính được
Bài 4:
a; A = \(\dfrac{4a-5b}{6a+b}\); biết \(\dfrac{a}{b}\) = \(\dfrac{2}{3}\)
\(\dfrac{a}{b}\) = \(\dfrac{2}{3}\) ⇒ a = \(\dfrac{2}{3}\).b
Thay a = \(\dfrac{2}{3}\)b vào biểu thức A ta có:
A = \(\dfrac{4.\dfrac{2}{3}.b-5.b}{6.\dfrac{2}{3}.b+b}\)
A = \(\dfrac{b.\left(\dfrac{8}{3}-5\right)}{b.\left(4+1\right)}\)
A = \(\dfrac{\dfrac{-7}{3}}{5}\)
A = \(\dfrac{-7}{15}\)
Bài 4:
a: \(\left|x+\frac{1}{1\cdot2}\right|+\left|x+\frac{1}{2\cdot3}\right|+\cdots+\left|x+\frac{1}{2019\cdot2020}\right|=2020x\)
=>2020x>=0
=>x>=0
Phương trình sẽ trở thành:
\(x+\frac{1}{1\cdot2}+x+\frac{1}{2\cdot3}+\cdots+x+\frac{1}{2019\cdot2020}=2020x\)
=>\(2020x=2019x+\left(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\cdots+\frac{1}{2019\cdot2020}\right)\)
=>\(2020x=2019x+1-\frac12+\frac12-\frac13+\cdots+\frac{1}{2019}-\frac{1}{2020}\)
=>\(2020x=2019x+1-\frac{1}{2020}=2019x+\frac{2019}{2020}\)
=>\(x=\frac{2019}{2020}\) (nhận)
b: \(\left|x+\frac{1}{1\cdot3}\right|+\left|x+\frac{1}{3\cdot5}\right|+\cdots+\left|x+\frac{1}{197\cdot199}\right|=100x\)
=>100x>=0
=>x>=0
Phương trình sẽ trở thành:
\(x+\frac{1}{1\cdot3}+x+\frac{1}{3\cdot5}+\cdots+x+\frac{1}{197\cdot199}=100x\)
=>\(99x+\left(\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\cdots+\frac{1}{197\cdot199}\right)=100x\)
=>\(100x=99x+\frac12\left(\frac{2}{1\cdot3}+\frac{2}{3\cdot5}+\cdots+\frac{2}{197\cdot199}\right)\)
=>\(x=\frac12\left(1-\frac13+\frac13-\frac15+\ldots+\frac{1}{197}-\frac{1}{199}\right)=\frac12\left(1-\frac{1}{199}\right)=\frac12\cdot\frac{198}{199}=\frac{99}{199}\)
c: \(\left|x+\frac12\right|+\left|x+\frac16\right|+\left|x+\frac{1}{12}\right|+\ldots+\left|x+\frac{1}{110}\right|=11x\)
=>11x>=0
=>x>=0
Phương trình sẽ trở thành:
\(x+\frac12+x+\frac16+\cdots+x+\frac{1}{110}=11x\)
=>\(11x=10x+\left(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\cdots+\frac{1}{10\cdot11}\right)\)
=>\(x=1-\frac12+\frac12-\frac13+\cdots+\frac{1}{10}-\frac{1}{11}=1-\frac{1}{11}=\frac{10}{11}\) (nhận)
Bài 6:
a: \(\left|x+5\right|+\left|4-x\right|=9\)
mà \(\left|x+5\right|+\left|4-x\right|\ge\left|x+5+4-x\right|=9\)
nên (x+5)(4-x)>=0
=>(x+5)(x-4)<=0
=>-5<=x<=4
b: \(\left|x-\frac23\right|+\left|x-\frac34\right|=\frac{1}{12}\)
=>\(\left|x-\frac23\right|+\left|\frac34-x\right|=\frac{1}{12}\)
mà \(\left|x-\frac23\right|+\left|\frac34-x\right|\ge x-\frac23+\frac34-x=\frac{1}{12}\)
nên \(\left(x-\frac23\right)\left(x-\frac34\right)\le0\)
=>\(\frac23\le x\le\frac34\)
c: \(2\left|x-3\right|+\left|2x+5\right|=11\)
=>\(\left|2x-6\right|+\left|2x+5\right|=11\)
=>\(\left|2x+5\right|+\left|6-2x\right|=11\)
mà \(\left|2x+5\right|+\left|6-2x\right|\ge2x+5+6-2x=11\)
nên (2x+5)(2x-6)<=0
=>\(-\frac52\le x\le3\)
d: \(\left|x-3\right|+\left|5-x\right|-2\left|x-4\right|=2\)
=>|x-3|-2|x-4|+|x-5|=2(1)
TH1: x<3
=>x-3<0; x-4<0; x-5<0
(1) sẽ trở thành:
3-x-2(4-x)+5-x=2
=>8-2x-8+2x=2
=>0x=2(vô lý)
=>Loại
TH2: 3<=x<4
=>x-3>=0; x-4<0; x-5<0
(1) sẽ trở thành:
x-3-2(4-x)+5-x=2
=>x-3-8+2x+5-x=2
=>2x-6=2
=>2x=8
=>x=4(loại)
TH3: 4<=x<5
=>x-3>0; x-4>=0; x-5<0
(1) sẽ trở thành:
x-3-2(x-4)+5-x=2
=>x-3-2x+8+5-x=2
=>-2x+10=2
=>-2x=-8
=>x=4(nhận)
TH4: x>=5
=>x-3>0; x-4>0; x-5>=0
(1) sẽ trở thành: x-3+2(x-4)+x-5=2
=>2x-8+2x-8=2
=>4x-16=2
=>4x=18
=>x=18/4(loại)
Vậy: x=4
Bải 3:
a: \(\left|5-\frac23x\right|\ge0\forall x;\left|\frac23y-4\right|\ge0\forall y\)
Do đó: \(\left|5-\frac23x\right|+\left|\frac23y-4\right|\ge0\forall x,y\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\begin{cases}5-\frac23x=0\\ \frac23y-4=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\frac23x=5\\ \frac23y=4\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=5:\frac23=\frac{15}{2}\\ y=4:\frac23=4\cdot\frac32=6\end{cases}\)
Đúng(0)