Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Nhân cả 2 vế với a+b+c
Chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) tương tự với \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b};\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0\Leftrightarrow\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)luôn đúng do a;b>0
dễ rồi nhé
b) \(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)
\(P=\left(\frac{x+1}{x+1}+\frac{y+1}{y+1}+\frac{z+1}{z+1}\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(P=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel (mình nói bđt như vậy,chỗ này bạn cứ nói theo cái bđt đề bài cho đi) ta được:
\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+1+y+1+z+1}=\frac{9}{4}\)
=>\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\le3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)
=>Pmax=3/4 <=> x=y=z=1/3
1)Áp dụng Bđt Am-Gm \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2\)
2)Áp dụng Am-Gm \(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab;b^2+c^2\ge2bc;a^2+c^2\ge2ca\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
=>ĐPcm
3)(a+b+c)2\(\ge\)3(ab+bc+ca)
=>a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca\(\ge\)3ab+3bc+3ca
=>a2+b2+c2-ab-bc-ca\(\ge\)0
=>2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca\(\ge\)0
=>(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ac+a2)\(\ge\)0
=>(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2\(\ge\)0
4)đề đúng \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
Đặt \(\left(\frac{a-b}{c},\frac{b-c}{a},\frac{c-a}{b}\right)\rightarrow\left(x,y,z\right)\)
Khi đó:\(\left(\frac{c}{a-b},\frac{a}{b-c},\frac{b}{c-a}\right)\rightarrow\left(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}\right)\)
Ta có:
\(P\cdot Q=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}\)
Mặt khác:\(\frac{y+z}{x}=\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\cdot\frac{c}{a-b}=\frac{b^2-bc+ac-a^2}{ab}\cdot\frac{c}{a-b}\)
\(=\frac{c\left(a-b\right)\left(c-a-b\right)}{ab\left(a-b\right)}=\frac{c\left(c-a-b\right)}{ab}=\frac{2c^2}{ab}\left(1\right)\)
Tương tự:\(\frac{x+z}{y}=\frac{2a^2}{bc}\left(2\right)\)
\(=\frac{x+y}{z}=\frac{2b^2}{ac}\left(3\right)\)
Từ ( 1 );( 2 );( 3 ) ta có:
\(P\cdot Q=3+\frac{2c^2}{ab}+\frac{2a^2}{bc}+\frac{2b^2}{ac}=3+\frac{2}{abc}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Ta có:\(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3=-c^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
Khi đó:\(P\cdot Q=3+\frac{2}{abc}\cdot3abc=9\)
1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)
\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\) (1)
áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)
(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\) <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\) ( vậy (1) đúng)
dấu '=' khi a=b=c
Bài 1 :
a) Ta có : \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) , \(b+c\ge2\sqrt{bc}\) , \(c+a\ge2\sqrt{ca}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\) hay \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge8abc\)
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski, ta có:
\(\left(a+b+c\right)\left[\frac{a}{\left(ac+a+1\right)^2}+\frac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(ca+c+1\right)^2}\right]\)
\(\ge\left(\frac{a}{ac+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\right)^2\) \(\left(1\right)\)
Lại có: \(\frac{a}{ac+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\)
\(=\frac{a}{ac+a+abc}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{abc+bc+b}\) ( Do abc=1 )
\(=\frac{1}{bc+b+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{bc+b+1}\)
\(=1\) \(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\left(a+b+c\right)\left[\frac{a}{\left(ac+a+1\right)^2}+\frac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(ca+c+1\right)^2}\right]\ge1\)
Mà \(a;b;c>0\Rightarrow a+b+c>0\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\left(ac+a+1\right)^2}+\frac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(ca+c+1\right)^2}\ge\frac{1}{a+b+c}\) (đpcm)
Lần sau không tag là không giải nha:)
2)Chú ý: \(\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)\ge9abc\)
\(\Rightarrow3\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\Rightarrow abc\le\frac{ab+bc+ca}{3}\) (thay giả thiết vào thôi)
Và BĐT: \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\) (đúng)
Như vậy: \(P\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{3}{ab+bc+ca}\)
\(=\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}\right)+\frac{2}{ab+bc+ca}\)
\(\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{2}{ab+bc+ca}\)
\(\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{6}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{15}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{5}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
1)Chú ý đẳng thức: \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-a-b-c\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{b}+\frac{\left(b-c\right)^2}{c}+\frac{\left(c-a\right)^2}{a}\)
Vậy ta quy bài toán về chứng minh:
\(\frac{\left(a-b\right)^2}{b}+\frac{\left(b-c\right)^2}{c}+\frac{\left(c-a\right)^2}{a}\ge\frac{4}{\left(a+b+c\right)}\left(max\left(a-b\right)^2,\left(b-c\right)^2,\left(c-a\right)^2\right)\)
*Với trường hợp \(\left(a-b\right)^2=max\left\{\left(a-b\right)^2,\left(b-c\right)^2,\left(c-a\right)^2\right\}\). Ta cần chứng minh:
\(\frac{\left(a-b\right)^2}{b}+\frac{\left(b-c\right)^2}{c}+\frac{\left(c-a\right)^2}{a}\ge\frac{4\left(a-b\right)^2}{\left(a+b+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b+c}\right)\left(a-b\right)^2+\left[\frac{\left(b-c\right)^2}{c}+\frac{\left(c-a\right)^2}{a}\right]\ge0\)
Áp dụng BĐT Svacxo:
\(VT\ge\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b+c}\right)\left(a-b\right)^2+\frac{\left(b-c+c-a\right)^2}{c+a}\)
\(=\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c+a}-\frac{4}{a+b+c}\right)\left(a-b\right)^2\)\(=\frac{\left(a+c-b\right)^2\left(a-b\right)^2}{b\left(a+c\right)\left(a+b+c\right)}\ge0\)
Vậy BĐT đúng với trường hợp \(\left(a-b\right)^2=max\left\{\left(a-b\right)^2,\left(b-c\right)^2,\left(c-a\right)^2\right\}\)
Hai trường hợp còn lại:
+)\(\left(b-c\right)^2=max\left\{\left(a-b\right)^2,\left(b-c\right)^2,\left(c-a\right)^2\right\}\)
+)\(\left(c-a\right)^2=max\left\{\left(a-b\right)^2,\left(b-c\right)^2,\left(c-a\right)^2\right\}\)
Cách chứng minh tương tự, xin không trình bày ở đây vì rất dài.
P/s: Riêng bài này tui hok chắc. @Akai Haruma check giúp em với ạ!
Không hiểu do cố tình hay vô tình mà câu tl bài 1 của t bị xóa. Rất may trang cá nhân còn hiển thị nên t đăng lại:
Có người bận lắm em, chị cũng vậy.
Thi học kỳ xong rồi tính :((
cj Nguyễn Thị Ngọc Thơ cứ thấy CHH là vào cmt cái gì á?
Làm nhiều chủ tus mừng hụt.
m ko tag t:)
lớp 8 mà sao để thông tin là trg tiểu học v?
trinh gia long : Cố ý:3
Ôi má, giả xong bài 1 bấm hủy==
Quên:
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
tth_new K CỐ TÌNH MÀ TÊN MÀY KHÓ TAG :)) MơM nHA, ĐỌC XEM CÓ HIỂU K ĐÃ :))
Ê MÀY, cô tao bảo là xét cái nào lớn nhất thôi mà ? Tao không hiểu bài này lắm, còn bài trên thì hiểu r.
Nguyễn Văn Đạt thì phải xét từng cái! Nếu (a-b)^2 lớn nhất thì chứng minh theo (a-b)^2 , nếu (b-c)^2 lớn nhất thì phải chứng minh theo (b-c)^2.
Như vậy phải làm tới 3 trường hợp!
Trừ khi đề bài có đk: \(a\ge b\ge c\) hoặc \(a\le b\le c\)
Nhưng có đk vô thì dễ nhầm lẫn nên tao không làm đâu;)
tth_new thế thử cả ba TH thì cả bảo cái đều >= 0 thì chọn cái nào ?
Nguyễn Văn Đạt Cả 3 th đều >= 0 thì kết luận: "Ta có đpcm" (tao chắc chắn cả ba đều >=0)
tth_new mày giải nốt hộ ik :)) Không bao giờ gặp luôn thật á, giúp ik .
Nguyễn Văn Đạt dài lắm, ko giải
tth_new
tth_new mày làm chỗ này kiểu rì đây ??
@Băng Băng 2k6:Ai xóa câu trả lời của t vậy?
tth_new M hỏi chủ nhân của câu hỏi ý :))
Triệu hồi @Nguyễn Văn Đạt
tth_newミ★ᗪเệų ℌųуềй (ßăйǥ ßăйǥ ²к⁶)★彡tth
đã giải quyết xong vụ việc.
Nguyễn Văn Đạt Việc j?
Này chỉ có thể do CTV xóa thôi, nếu là GV thì tại wall em nó cũng bay màu luôn rồi :3
ミ★ᗪเệų ℌųуềй (ßăйǥ ßăйǥ ²к⁶)★彡Nguyễn Văn Đạt việc nào?
tth_newミ★ᗪเệų ℌųуềй (ßăйǥ ßăйǥ ²к⁶)★彡Nguyễn Văn Đạt
xoá nhầm :)) ta bảo mày vừa nãy r mà tth ?
Nguyễn Thị Ngọc Thơ chị Ther ơi , em vô tình xóa chị ạ, người đăng cũng là người vô tình. Xin lỗi ạ .
tth_new T ko biết gì hết!!!
Nguyễn Văn Đạt t ko vô tình, chỉ vô tình nhìn thấy câu tl bị xóa thôi:)
Đúng rồi em nhé.