Bài giải

Gọi hệ trục Oxyz với A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0). Gọi S(p;q;h).

SA = SB = a:
p² + q² + h² = a²
(p - a)² + q² + h² = a² ⇒ p = a/2

SC = a√3:
a²/4 + (q - a)² + h² = 3a²
Từ SA: q² + h² = 3a²/4 ⇒ a²/4 + q² - 2aq + a² + h² = 3a²
2a² - 2aq = 3a² ⇒ q = -a/2 ⇒ h² = a²/2 ⇒ h = a√2/2

S(a/2; -a/2; a√2/2)
H(a/4; -a/4; a√2/4), K(3a/4; -a/4; a√2/4)
M(x; x; 0), 0 ≤ x ≤ a
N(a; t; 0) ∈ BC

HK = (a/2; 0; 0)
HM = (x - a/4; x + a/4; -a√2/4)
n = HK × HM = (0; a²√2/8; a/2(x + a/4))

Mặt phẳng (HKM): (a²√2/8)(y + a/4) + (a/2)(x + a/4)(z - a√2/4) = 0

Với N(a; t; 0): t = x ⇒ N(a; x; 0)

HK = a/2, MN = a - x
d = √[(x + a/4)² + a²/8]

S = (a/2 + a - x)/2 × d = (3a/2 - x)/2 × √[(x + a/4)² + a²/8]

Giải S'(x) = 0 ⇒ x = 5a/8

Kết luận: x = 5a/8 thì diện tích HKMN nhỏ nhất

Cho mình xin 1 tick với ạ

ĐKXĐ: \(\begin{cases}x<>\frac{\pi}{2}+k\pi\\ 1-cos^2x<>0\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x<>\frac{\pi}{2}+k\pi\\ \sin^2x<>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x<>\frac{\pi}{2}+k\pi\\ \sin x<>0\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x<>\frac{\pi}{2}+k\pi\\ x<>k\pi\end{cases}\)

=>\(x<>\frac{k\pi}{2}\)

=>TXĐ là D=R\{k\(\pi\) /2}

3.

Hàm trùng phương \(f\left(x\right)=ax^4+bx^2+c\) với \(a\ne0\) đồng biến trên \(\left(0;+\infty\right)\) khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\b\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m\ge0\)

Hoặc giải bt: \(y'=4x^3+2mx\ge0\) ;\(\forall x>0\)

\(\Leftrightarrow2x\left(x^2+m\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+m\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2\ge-m\)

\(\Leftrightarrow-m\le min\left(x^2\right)=0\Rightarrow m\ge0\)

1.

Giả sử tiếp tuyến d có 1 vtpt là \(\left(a;b\right)\) với \(a^2+b^2>0\)

\(\Rightarrow cos30^0=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\left|a-2b\right|}{\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(1^2+\left(-2\right)^2\right)}}=\frac{\left|a-2b\right|}{\sqrt{5\left(a^2+b^2\right)}}\)

\(\Leftrightarrow4\left(a-2b\right)^2=15\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow11a^2+16ab-b^2=0\)

Nghiệm xấu quá nhìn muốn nản, bạn tự làm tiếp :)

2.

\(y'=cosx-2sinx+2m-5\)

Hàm số đồng biến trên TXĐ khi và chỉ khi \(y'\ge0\) ; \(\forall x\)

\(\Leftrightarrow cosx-2sinx+2m-5\ge0\) ;\(\forall x\)

\(\Leftrightarrow2m-5\ge2sinx-cosx\)

\(\Leftrightarrow2m-5\ge f\left(x\right)_{max}\) với \(f\left(x\right)=2sinx-cosx\)

Ta có: \(f\left(x\right)=2sinx-cosx=\sqrt{5}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}sinx-\frac{1}{\sqrt{5}}cosx\right)=\sqrt{5}sin\left(x-a\right)\)

Với \(a\in\left(0;\pi\right)\) sao cho \(cosa=\frac{2}{\sqrt{5}}\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\le\sqrt{5}\Rightarrow2m-5\ge\sqrt{5}\Rightarrow m\ge\frac{5+\sqrt{5}}{2}\)