a: Xét ΔAFH vuông tại F và ΔADB vuông tại D có

\(\hat{FAH}\) chung

Do đó: ΔAFH~ΔADB

b: ΔAFH~ΔADB

=>\(\frac{AF}{AD}=\frac{AH}{AB}\)

=>\(\frac{AF}{AH}=\frac{AD}{AB}\)

Xét ΔAFD và ΔAHB có

\(\frac{AF}{AH}=\frac{AD}{AB}\)

góc FAD chung

Do đó: ΔAFD~ΔAHB

Bài 10:

a) Xét ΔABE vuông tại E và ΔCBD vuông tại D có 

\(\widehat{DBC}\) chung

Do đó: ΔABE\(\sim\)ΔCBD(g-g)

b) Xét ΔHDA vuông tại D và ΔHEC vuông tại E có 

\(\widehat{AHD}=\widehat{CHE}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHDA\(\sim\)ΔHEC(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{HD}{HE}=\dfrac{HA}{HC}\)

hay \(HD\cdot HC=HE\cdot HA\)

Bài 11: 

a) Xét ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có

\(\widehat{FAC}\) chung

Do đó: ΔABE\(\sim\)ΔACF(g-g)

b) Xét ΔFHB vuông tại F và ΔEHC vuông tại E có 

\(\widehat{FHB}=\widehat{EHC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔFHB\(\sim\)ΔEHC(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{HF}{HE}=\dfrac{HB}{HC}\)

hay \(HE\cdot HB=HF\cdot HC\)

c) Ta có: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC(cmt)

nên \(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)

hay \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có

\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)(cmt)

\(\widehat{FAE}\) chung

Do đó: ΔAEF\(\sim\)ΔABC(c-g-c)

Suy ra: \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)

a: Xét ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có

góc BAE chung

=>ΔABE đồng dạng với ΔACF

=>AB/AC=AE/AF

=>AE/AB=AF/AC và AE*AC=AB*AF

b: Xét ΔAEF và ΔABC có

AE/AB=AF/AC

góc A chung

=>ΔAEF đồng dạng với ΔABC

=>góc AEF=góc ACB

c; góc AFH=góc AEH=90 độ

=>AFHE nội tiếp (I)

=>IF=IE

góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC nội tiếp (M)

=>MF=ME

=>MI là trung trực của EF

=>MI vuông góc EF

c) -△AEF và △ABC có: \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)(△ABE∼△ACF), \(\widehat{BAC}\) chung.

\(\Rightarrow\)△AEF∼△ABC (c-g-c) \(\Rightarrow\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{EF}{BC}\right)^2\).

-△MFB và △MEC có: \(\widehat{FMB}=\widehat{EMC}\) , \(\widehat{MFB}=\widehat{MEC}=90^0\)

\(\Rightarrow\)△MFB∼△MEC (g-g) \(\Rightarrow\dfrac{MF}{ME}=\dfrac{MB}{MC}\).

-△MEF và △MCB có: \(\dfrac{MF}{MB}=\dfrac{ME}{MC}\left(\dfrac{MF}{ME}=\dfrac{MB}{MC}\right),\widehat{EMF}=\widehat{CMB}\)

\(\Rightarrow\)△MEF∼△MCB (c-g-c) \(\Rightarrow\dfrac{S_{MEF}}{S_{MCB}}=\left(\dfrac{EF}{BC}\right)^2\)

\(\dfrac{AK}{AD}.\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{S_{AKE}}{S_{ADC}}=\dfrac{S_{AFK}}{D_{ADB}}=\dfrac{S_{AKE}+S_{AFK}}{S_{ADC}+S_{ADB}}=\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{EF}{BC}\right)^2\)

\(\dfrac{MK}{MD}.\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{S_{MEK}}{S_{MDC}}=\dfrac{S_{MFK}}{S_{MDB}}=\dfrac{S_{MEK}+S_{MFK}}{S_{MDC}+S_{MDB}}=\dfrac{S_{MEF}}{S_{MCB}}=\left(\dfrac{EF}{BC}\right)^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{AK}{AD}=\dfrac{MK}{MD}\Rightarrow AK.MD=MK.AD\)

a)xét ΔAEH và ΔBDH

\(\widehat{BDH}=\widehat{AEH}=90^O\)

\(\widehat{BHD}=\widehat{AHE}\left(đ.đ\right)\)

=>ΔAEH ∼ ΔBDH(g.g)

b)xét ΔCAD và ΔCEB

\(\widehat{C}\) chung

\(\widehat{BEC}=\widehat{BEC}=90^O\)

->ΔCAD ∼ ΔCEB

->\(\dfrac{CA}{CD}=\dfrac{CB}{CE}\)

=>\(CA.CE=CD.CB\)

a: Xét ΔCDA vuông tại D và ΔCEB vuông tại E có

\(\hat{DCA}\) chung

Do đó: ΔCDA~ΔCEB

=>\(\frac{CD}{CE}=\frac{CA}{CB}\)

=>\(CD\cdot CB=CE\cdot CA\)

c: ΔABC có AD là đường cao

nên \(S_{ABC}=\frac12\cdot AD\cdot BC=\frac12\cdot8\cdot12=4\cdot12=48\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Sửa đề: ED=1/3AB

ΔCDA~ΔCEB

=>\(\frac{CD}{CE}=\frac{CA}{CB}\)

=>\(\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB}\)

Xét ΔCDE và ΔCAB có

\(\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB}\)

góc DCE chung

Do đó: ΔCDE~ΔCAB

=>\(\frac{S_{CDE}}{S_{CAB}}=\left(\frac{DE}{AB}\right)^2=\frac19\)

=>\(S_{CDE}=\frac{48}{9}=\frac{16}{3}\left(\operatorname{cm}^2\right)\)