Bài 1: 

AH=12cm

AC=20cm

\(\widehat{ABC}=37^0\)

Bài 5: 

Ta có: \(AB^2=BH\cdot BC\)

\(\Leftrightarrow BH\left(BH+9\right)=400\)

\(\Leftrightarrow BH^2+25HB-16HB-400=0\)

\(\Leftrightarrow BH=16\left(cm\right)\)

hay BC=25(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AC^2=CH\cdot BC\\AH\cdot BC=AB\cdot AC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AC=15\left(cm\right)\\AH=12\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Bài 1: 

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=15^2-9^2=144\)

hay AC=12(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{9^2}{15}=\dfrac{81}{15}=5.4\left(cm\right)\\CH=\dfrac{12^2}{15}=\dfrac{144}{15}=9,6\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔAHB vuông tại H, ta được:

\(AH^2+HB^2=AB^2\)

\(\Leftrightarrow AH^2=9^2-5.4^2=51,84\)

hay AH=7,2(cm)

Bài 6:

a: ΔOAB cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI⊥AB tại I

ΔOIA vuông tại I

=>\(OI^2+IA^2=OA^2\)

=>\(AI^2=10^2-7^2=100-49=51\)

=>\(AI=\sqrt{51}\left(\operatorname{cm}\right)\)

I là trung điểm của AB

=>\(AB=2\cdot AI=2\sqrt{51}\) (cm)

b: I là trung điểm của AB

=>\(IA=IB=\frac{14}{2}=7\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔOIA vuông tại I

=>\(OI^2+IA^2=OA^2\)

=>\(OI^2=10^2-7^2=100-49=51\)

=>\(OI=\sqrt{51}\left(\operatorname{cm}\right)\)

Bài 5:

BC=BH+CH=10+42=52(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC=10\cdot42=420\)

=>\(AH=\sqrt{420}=2\sqrt{105}\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>\(BA^2=10\cdot52=520\)

=>\(BA=2\sqrt{130}\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(CH\cdot CB=CA^2\)

=>\(CA^2=42\cdot52=2^2\cdot13\cdot42=4\cdot546\)

=>\(CA=2\sqrt{546}\left(\operatorname{cm}\right)\)

Bài 1:

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=15^2-9^2=225-81=144=12^2\)

=>AC=12(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot15=9\cdot12=108\)

=>AH=108/15=7,2(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>BH=9^2/15=5,4(cm)

BH+HC=BC

=>HC=15-5,4=9,6(cm)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABC(góc A=90) có:

BC²=AB²+AC²

<=>BC²=3²+4²

<=>BC²=25

<=>BC=5(cm)

Áp dụng HTL vào tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH được:

AB.AC=BC.AH

<=>3.4=5.AH

<=> AH=\(\dfrac{3.4}{5}\)

<=>AH=2,4(cm)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác AHB vuông tại H có:

AB²=AH²+BH²

<=>BH²=3²-2,4²

<=>BH²=3,24

<=>BH=1,8(cm)
Ta có:BC=BH+CH

=>CH=BC-BH=5-1,8=3,2(cm)

Vậy BC=5cm;AH=2,4cm;BH=1,8cm;CH=3,2cm

bài 9
tam giác ABC vuông tại A có
* BC²=AB²+AC²
  BC²=15²+20²=625
  BC=25cm
* AH.BC=AB.AC
  AH.25=15.20
  AH.25=300
  AH=12cm

tam giác ABH vuông tại H có
BH²=AB²-AH²
BH²=15²-12²=81
BH=9cm
tam giác ABC vuông tại A có
*AB²=BH.BC
225=9.BC
BC=25cm
CH=BC-BH=25-9=16cm
*AC²=BC²-AB²
 AC²=25²-15²=400
 AC=20cm

Lời giải:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$AB^2=BH.BC$

$BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{9^2}{15}=5,4$ (cm)

$CH=BC-BH=15-5,4=9,6$ (cm)

$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{15^2-9^2}=12$ (cm) theo định lý Pitago

$AH=\frac{2S_{ABC}}{BC}=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{9.12}{15}=7,2$ (cm)

Hình vẽ: